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Grenzwert mit n als Exponent

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Tags: Folgen, Grenzwert

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mj-naz

mj-naz aktiv_icon

19:05 Uhr, 07.04.2014

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Ich soll den Grenzwert der Folge

a (n) := \frac{n^{10}}{{1,1}^{n}}

berechnen.

n \to \infty

Ich hätte

lim a (n) = \frac{lim n^{10}}{lim {1,1}^{n}}

.
Nachdem beides gegen

\infty

konvergiert, müsste der Grenzwert 1 sein. Stimmt das bzw. muss ich das rechnerisch noch irgendwie zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Antwort

Bummerang

19:11 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Hallo,

"Stimmt das ..." - Nein!

"... muss ich das rechnerisch noch irgendwie zeigen?" - Klar!

mj-naz

mj-naz aktiv_icon

19:15 Uhr, 07.04.2014

Antworten

hab schon gemerkt, dass das absolut nicht stimmen kann...
wie berechne ich das? hab leider keine ahnung, wie ich das angehn soll.

Antwort

Respon

20:13 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Sowohl Zähler als auch Nenner

\to \infty

Regel von L’Hospital sooft anwenden, bis im Zähler die Variable verschwindet.

\frac{n^{10}}{{1,1}^{n}} \Rightarrow \frac{10 \cdot n^{9}}{{1,1}^{n} \cdot ln (1,1)} \Rightarrow \frac{10 \cdot 9 \cdot n^{8}}{{1,1}^{n} \cdot {(ln (1,1))}^{2}} \Rightarrow ... \Rightarrow \frac{10!}{{1,1}^{n} \cdot {(ln (1,1))}^{10}}

\Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}}{{1,1}^{n}} = 0

mj-naz

mj-naz aktiv_icon

20:19 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Danke!
Gäbe es noch einen anderen Weg? Die Regel von l'Hospital haben wir nämlich eigentlich noch nicht gemacht.

Antwort

Respon

21:03 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Ab

n = 767

gilt:

\frac{n^{10}}{{1,1}^{n}} < \frac{1}{n}

Die rechte Folge konvergiert trivialerweise

\to 0

.
( Beweis eventuell mit vollständiger Induktion )

Antwort

anonymous

anonymous

22:06 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Gibt es nicht auch Sätze, nämlich dass

1. exponentielle Funktionen

(a^{x}; a \neq 0)

stets gewichtiger sind, als Ganzrationale?

und

2. der Bruch

\frac{\infty_{1}}{\infty_{2}}

a)

konstant für gleichgewichtig,

b) \infty

für

\infty_{1}

gewichtiger und

c) 0

für

\infty_{2}

gewichtiger ist?

Dann "sieht" man oben geforderte Lösung beinahe.. xD

Grüße, IP

Antwort

Mathe45

22:22 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Die Überlegungen sind natürlich korrekt, stellen aber keinen mathematischen Beweis dar.
Die Konvergenz einer Folge läßt sich leicht beweisen

(z . B

. streng monoton fallend, nach unten begrenzt

\Rightarrow

konvergent ). Schwieriger ist es mit dem Grenzwert an sich.

z . B

.
Haben wir

\frac{f (n)}{g (n)}

und

g (n)

ist ab einem gewissen

n

größer ( gewichtiger ) als

f (n)

so folgt daraus bloß

g (n) > f (n) \Rightarrow \frac{1}{g (n)} < \frac{1}{f (n)}

\frac{f (n)}{g (n)} = f (n) \cdot \frac{1}{g (n)} < f (n) \cdot \frac{1}{f (n)} = 1

"Gefühlsmäßig" ist die Sache natürlich klar.

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

22:52 Uhr, 07.04.2014

Antworten

Für

n \in ℕ_{\geq 22}

ist

\sqrt[n]{n^{11}} = \sqrt[n]{{(\sqrt{n})}^{22} \cdot 1^{n - 22}} \leq \frac{22 \sqrt{n} + n - 22}{n} \leq 1 + \frac{22}{\sqrt{n}}

nach der AGM-Ungleichung
Wegen

lim_{n \to \infty} \frac{22}{\sqrt{n}} = 0

gibt es nun ein

N \in ℕ_{\geq 22}

mit

\sqrt[n]{n^{11}} \leq 1,1

für alle

n \geq N

. Wegen

\sqrt[n]{n^{11}} \leq 1,1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt[n]{n^{11}}}{1,1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{n^{11}}{{1,1}^{n}} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{n^{10}}{{1,1}^{n}} \leq \frac{1}{n}

und

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

folgt

lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}}{{1,1}^{n}} = 0

Dieser Weg ist vielleicht deshalb ganz interessant, weil er sich problemlos auf

lim_{n \to \infty} n^{p} q^{n}

mit

p \in ℕ, 0 < | q | < 1

verallgemeinern lässt.

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