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Grenzwert n^10/n!

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

UchihaMadara aktiv_icon

15:05 Uhr, 04.09.2023

Hi!

Ich soll den Grenzwert für

lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}}{n!}

bestimmen.

Ich finde da leider keinen Ansatz, für mich sieht das nach unendlich/unendlich aus, wobei der Zähler schneller gegen unendlich läuft, also Grenzwert

= \infty

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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calc007

15:48 Uhr, 04.09.2023

Tipp: Quotientenkriterium

...und keine vorschnellen Schlüsse.

UchihaMadara aktiv_icon

15:55 Uhr, 04.09.2023

Danke! Es soll wohl darauf hinaus, dass es divergiert, also kein Grenzwert.

Aber:

lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{10} \cdot n!}{n^{10} \cdot (n + 1)!} = \frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n} + \frac{1}{1} = 1

\to

keine Aussage

: (

abakus

16:11 Uhr, 04.09.2023

\frac{1}{n + 1}

ist in keinem Paralleluniversum

\frac{1}{n} + 1

HAL9000

16:21 Uhr, 04.09.2023

@UchihaMadara

Seltsam, was du das rechnest: Tatsächlich gilt (erstmal ohne Grenzwert) unter Berücksichtigung von

(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!

sowie den Potenzgesetzen

\frac{{(n + 1)}^{10} \cdot n!}{n^{10} \cdot (n + 1)!} = {(\frac{n + 1}{n})}^{10} \cdot \frac{n!}{(n + 1) \cdot n!} = {(1 + \frac{1}{n})}^{10} \cdot \frac{1}{n + 1}

Nun gilt

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{10} = 1

sowie

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0

, damit konvergiert der Gesamtterm gegen

1 \cdot 0 = 0

KL700 aktiv_icon

16:22 Uhr, 04.09.2023

"wobei der Zähler schneller gegen unendlich läuft, also Grenzwert =∞"

n!

wächst schneller als

n^{10}

z . B . :

100! = ~ 10^{58}

100^{10} = 10^{20}

\to lim = 0

UchihaMadara aktiv_icon

16:53 Uhr, 04.09.2023

@HAL9000

ich bin oft bei Umformungen auf

\frac{1}{1 + n}

gekommen.

Es ist also so, dass der

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0

ist.

Danke!

Auch ein großen Dank an @KL700 @calc007 @abakus

UchihaMadara aktiv_icon

16:55 Uhr, 04.09.2023

ABER:

Ich habe nun mit dem Quotientenkriterium gezeigt, dass die Reihe Konvergiert, da

0 < 1

.

Warum kann ich die 0 aber dafür verwenden, dass die Reihe auch gegen 0 konvergiert?
Also weshalb kann ich die erzeugte Umformung aus dem QK

\frac{1}{1 + n}

benutzen, um damit den Grenzwert selbst zu berechnen?

calc007

17:12 Uhr, 04.09.2023

Zunächst mal solltest du dir selbst und ggf. uns Lesern klar machen,
ob es sich um eine Reihe handelt
oder um eine Folge.
Als Aufgabenstellung hast du ja nur den Grenzwert der Folgenglieder bekannt gegeben.

Dann, wie kommst du auf die These, irgend ein Grenzwert einer Reihe wäre bestimmt oder gar Null?
Jedes einzelne Folgenglied,

d . h

. jeder Reihen-Summand ist doch größer als Null.
Wie sollte da die Summe Null bleiben???

HAL9000

18:03 Uhr, 04.09.2023

> Warum kann ich die 0 aber dafür verwenden, dass die Reihe auch gegen 0 konvergiert?

Kann es nicht: Der Reihenwert hier ist nicht Null !!! Um genau zu sein, es ist

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{10}}{n!} = 115975 \cdot e

. ;-)

Verwechsle bitte nicht die Konvergenz der Reihengliedfolge mit der Konvergenz der Reihe - das sind unterschiedliche Dinge!

UchihaMadara aktiv_icon

08:47 Uhr, 05.09.2023

Hi, vielen Dank!

Ich habe die Aufgabenstellung so gepostet, wie sie in einer der Klausuren stand.

VG.

UchihaMadara aktiv_icon

08:47 Uhr, 05.09.2023

. .

HAL9000

09:39 Uhr, 05.09.2023

> Ich habe die Aufgabenstellung so gepostet, wie sie in einer der Klausuren stand.

In deinem Eröffnungsposting ging es nur um den Grenzwert

lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}}{n!}

, da ist von keiner Reihe die Rede. Erst sehr viel später kamst du mit

> Warum kann ich die 0 aber dafür verwenden, dass die Reihe auch gegen 0 konvergiert?

Welche "Reihe" meinst du damit? D.h., was steht dazu in der Aufgabenstellung?

UchihaMadara aktiv_icon

10:35 Uhr, 05.09.2023

Ich war wohl verwirrt, dass ich

lim_{n \to \infty}

als Reihe deutete.

9 Stunden reine Lernzeit (ohne gegessen zu haben) sind wohl doch zu viel :-D)

VG.

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