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Grenzwert natürlicher Logarithmus

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert, ln, ln-Funktion, Natürlicher Logarithmus

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14:05 Uhr, 31.07.2012

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lim (x \to 1 -) ln (x) \cdot ln (1 - x) = 0

Hallo Leute, hoffe das klingt nicht nach, bitte macht mal und ich schaue mir mal das Ergebnis an.

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe und allgemeine Informationen wie man am besten an solche Aufgaben herangeht. Ich möchte diese Aufgaben beherrschen und brauche Infos wie ich sowas bis zum Ende durchrechnen kann

Ich weiß, dass ich l'Hospital anwenden muss, aber zuvor muss ich ja die Form "0"/"0"
bekommen.
Ich weiß jetzt nicht genau wie das gehen soll. Ich habe mir mal solche Aufgaben im Forum gesucht, allerdings auch nicht verstanden.

Normale Grenzwertberechnungen kann ich, aber bei den natürlichen Logarithmen scheitere ich leider.

Um die Form "0"/"0", "∞"/"∞" oder zu bekommen hätte ich spontan gesagt, dass wir ableiten, aber das können wir nur dann, wenn wir die Form schon haben.

Jetzt habe ich keine Ahnung wie ich weiter machen muss. Bei Wolframalpha ist ein Schritt abgebildet
ln(x)⋅ln(1−x)=(ln(1-x)/1)/(1/ln(x))...das ist wahrscheinlich mit dem Umkehrbruch multipliziert..

Danke schonmal fürs Durchlesen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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14:14 Uhr, 31.07.2012

lim_{x \to 1^{-}} ln (x) = 0

und

lim_{x \to 1^{-}} ln (1 - x) = - \infty

also hast du hier den Fall "

0 \cdot (- \infty)

". Darauf lässt sich L'Hospital noch nicht direkt anwenden. Wenn man aber die selbe Umformung wie Wolfram Alpha macht, also

ln (x) \cdot ln (1 - x) = \frac{ln (1 - x)}{\frac{1}{ln (x)}}

dann erhält man den Fall "

\frac{- \infty}{- \infty}

" und da hilft L'Hospital.

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14:43 Uhr, 31.07.2012

Danke für deine Antwort.

Könntest du mir bitte erklären warum bei

(lim

x→1−)ln(1−x)=−∞ das Ergebnis -∞ ist?
Hätte jetzt spontan gesagt, dass ich in der Klammer für

x

eine 1 einsetze

(lim

x→1−)ln(1−1), also kommt in der Klammer 0 raus, also wäre

ln (0)

undefiniert und somit −∞?

Danke schonmal im Voraus.

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14:56 Uhr, 31.07.2012

Na schau dir doch einfach mal den Grahen der Logarithmusfunktion an. Für

x \to 0^{+}

geht

ln (x)

offensichtlich gegen

- \infty

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15:02 Uhr, 31.07.2012

Tut mir Leid, ich mag dieses Graphen anschauen und daraus irgendetwas ableiten nicht^^...
Würde gerne erfahren, obs dazu eine rechnerische Lösung gibt, dann kann ich es persönlich besser nachvollziehen.

Sorry, wenns dumm klingt, aber rechnerischer Lösungsweg wäre mir viel lieber.

Danke.

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15:09 Uhr, 31.07.2012

Na dann überleg doch mal selber. Was ist überhaupt der

ln

? Kannst du mit dem Begriff Logarithmus überhaupt was anfangen? Wie wurde

ln (x)

bei euch eingeführt?

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15:19 Uhr, 31.07.2012

das einzige, was wir zu den natürlichen Logarithmen aufgeschrieben haben sieht so aus...

ln z =

ln(re^i(fi+k*2*phi))

. .

ln (z) = ln | z |

+i(fi+k*2*phi)

das ist das einzige, was wir jemals zu natürlichen Logarithmen aufgeschrieben haben und Grenzwerte dafür haben wir in den Übungen auch noch nie bestimmt, nur paar Aufgaben zum Differenzieren.

Das wars

Die Ableitung von

ln (x) = \frac{1}{x}

und

ln (1) = 0

Die Definitionen kenne ich, denk ich mal.

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15:23 Uhr, 31.07.2012

Was studierst du denn? Den

ln

kann man zum Beispiel als Umkehrfunktion von

x \mapsto e^{x}

einführen.

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15:29 Uhr, 31.07.2012

Ich studiere Informatik, bei uns ist Mathe auch nicht gerade beliebt und leicht, deswegen tue ich mich bei manchen Themen sehr schwer, weil ich auch in der Schule Themen, die mich nicht interessiert haben nicht gemacht habe.

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15:34 Uhr, 31.07.2012

Das Problem ist einfach, dass ich genau wissen müsste was ihr alles schon bewiesen habt bzw. wie ihr was eingeführt habt, um dir einen brauchbaren Beweis liefern zu können. Wenn du

x \mapsto ln (x)

als Umkehrfunktion von

x \mapsto e^{x}

einführst und

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0^{+}

kennst, dann folgt daraus schon dass

lim_{x \to 0^{+}} ln (x) = - \infty

.
Du solltest dich jetzt aber auch nicht allzu lange damit aufhalten, ich denke ihr Informatiker dürft das einfach so hinnehmen.

PS: Ich habe Mathematica seinen Beitrag gelöscht, da er völlig sinnlos war.

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15:38 Uhr, 31.07.2012

Werd mich später nochmal damit befassen, ich werde versuchen die Aufgabe jetzt selbstständig zu lösen.
Mal gucken wie weit ich komme.

danke für deine Antwort und deine Hilfe.

Schönen Tag noch.

Im Übrigen war das eine Klausuraufgabe vom letzten Semester und bei dem Prof. dürfen wir keine Taschenrechner benutzen und nur 2 DINA 4 Seiten vollschreiben.
Also weiß ich nich, ob er in der Klausur erwartet, dass wir die Definition wissen müssen. Normalerweise müssten die Rechnungen recht einfach gehalten sein, dennoch fällt mir der Logarithmus von den ganzen Aufgaben am schwersten.

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15:45 Uhr, 31.07.2012

Viel Erfolg :-)

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