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Grenzwert (ohne L'Hospital)

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Grenzwert

ChemPro aktiv_icon

10:25 Uhr, 05.09.2015

Guten Tag! Ich muss beweisen, dass

lim_{n \to \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} - 1}{(1 + \frac{1}{n}) - 1}

den Grenzwert 2 besitzt. Leider habe ich absolut keine Ahnung, wie ich das umformen soll. Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt! Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Roman-22

10:40 Uhr, 05.09.2015

Was würdest du denn bei

\frac{a^{2} - 1}{a - 1}

machen? Kann man da vereinfachen? Tipp: Dritte binomische Formel

(1 = 1^{2})

.
Und jetzt setze

a = (1 + \frac{1}{n})

R

ChemPro aktiv_icon

10:57 Uhr, 05.09.2015

Nach 3. Binomischer Formel würde es heißen:

\frac{(a + 1) \cdot (a - 1)}{a - 1} = a - 1

Anschließend

a = 1 + \frac{1}{n}

ersetzen:

1 + \frac{1}{n} + 1 - \to lim_{n \to \infty} = 2

Danke für deinen sehr hilfreichen Tipp!

Roman-22

10:59 Uhr, 05.09.2015

Gern geschehen!
In der ersten Zeile hast du einen Tippfehler, da müsste

a + 1

stehen.
Aber in der Folge hast du ohnedies mit dem richtigen Ausdruck gerechnet.
Die Schreibweise, die du in der zweiten Zeile an den Tag gelegt hast, ist allerdings extrem grausam. So wirst du das hoffentlich nicht abgeben.

R

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11:00 Uhr, 05.09.2015

Alternative: Ausmultiplizieren, zusammenfassen und vereinfachen:

\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}} - 1}{\frac{1}{n}} = (\frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}) \cdot n = . .

ChemPro aktiv_icon

11:04 Uhr, 05.09.2015

Roman-22, könntest du mir bitte erklären, wie die richtige Schreibweise wäre?

Roman-22

11:22 Uhr, 05.09.2015

In erster Linie musst du nach dem limes Symbol natürlich angeben, wovon du den Grenzwert berechnen möchtest.
Und dann sollte die Rechnung einen durchgehenden roten Faden haben, der bei der Angabe beginnt und bei der Lösung endet. Die Einführung der Variablen a war für dich als Erklärung gedacht - ich würde sie in der tatsächlichen Lösung nicht verwenden.

lim_{n \to \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} - 1}{(1 + \frac{1}{n}) - 1} = lim_{n \to \infty} \frac{((1 + \frac{1}{n}) + 1) \cdot ((1 + \frac{1}{n}) - 1)}{(1 + \frac{1}{n}) - 1} = lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{1}{n}) + 1) = lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2

Natürlich kannst du den Term auch (ohne limes) in einer Nebenrechnung vereinfachen und dann erst wieder den Grenzwert davon berechnen, aber die Nebenrechnung sollte dann auch als solche gekennzeichnet sein und es muss klar sein (etwa durch ein

= (⋆)

und später dann

(⋆) = ...),

wo mit der eigentlichen Aufgabe weiter gemacht wird.

Supporters Ansatz führt aber auch recht rasch zum Ziel, wenngleich ich aufgrund der ja eigentlich unnötig komplizierten Schreibweise für den Nenner (der ja einfach

\frac{1}{n}

ist) vermute, dass der Aufgabensteller die binomische Formel im Hinterkopf hatte (was dich bei der Lösung der Aufgabe aber nicht zwingt, diese auch zu verwenden). Wenn man ein kleinwenig mathegeschädigt ist, dann schreit einen der Ausdruck ja förmlich an: "Kürz mich!".

R

ChemPro aktiv_icon

11:29 Uhr, 05.09.2015

Danke vielmals für deine ausführliche Erklärung!

ChemPro aktiv_icon

11:29 Uhr, 05.09.2015

Danke vielmals für deine ausführliche Erklärung!

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