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Grenzwert ohne L´Hospital

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Oskar-G aktiv_icon

21:25 Uhr, 18.01.2022

Ich soll folgenden Grenzwert berechnen

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 + cos (x)}

Jedoch darf ich dazu nicht L´Hospital benutzen, jedenfalls hab ich schon einiges probiert wie Substitution oder durch Abschätzen über die Reihenentwicklung doch das ging immer nicht, hätte jemand vielleicht ein Ansatz dazu?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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michaL aktiv_icon

21:29 Uhr, 18.01.2022

Hallo,

das ist kein Fall für die Krankenhausregel. (Schau mal nach, was dafür die Voraussetzungen sind!)

Da Nenner- und Zählerfunktionen steig sind, kann man einfach einsetzen!

Mfg Michael

N8eule

21:39 Uhr, 18.01.2022

Hallo
Auch ich ahne, dass die Aufgabe (zu) einfach ist, indem du ja problemlos einsetzen kannst.

Meine Kristallkugel und hellseherischen Übungen aus langjähriger onlinemathe-Erfahrung lassen mich ahnen,
du wolltest eigentlich

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - cos (x)}

Dann könnten zB. auch Reihenentwicklungen helfen...

Oskar-G aktiv_icon

21:40 Uhr, 18.01.2022

Oh, ich hab mich in der Aufgabe verschrieben, im Nenner sollte

1 - cos (x)

stehen

Respon

22:17 Uhr, 18.01.2022

"jedenfalls hab ich schon einiges probiert wie Substitution oder durch Abschätzen über die Reihenentwicklung doch das ging immer nicht"
Reihenentwicklung ist ein guter Vorschlag.

\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x}) = c o s h (x)

c o s h (x) = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + . .

e^{x} + e^{- x} - 2 = 2 \cdot c o s h (x) - 2 = 2 \cdot (c o s h (x) - 1)

cos (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} \pm . .

1 - cos (x) = \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{4}}{4!} \pm . .

\Rightarrow

\frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - cos (x)} = \frac{2 \cdot (\frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + ...)}{\frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{4}}{4!} \pm ...}

Kürze den Bruch durch

\frac{x^{2}}{2!}

und führe dann den Grenzübergang durch

: \to 2

HAL9000

22:54 Uhr, 18.01.2022

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{{(e^{x / 2} - e^{- x / 2})}^{2}}{2 \cdot \sin^{2} (x / 2)} = lim_{t \to 0} \frac{{(2 \sinh (t))}^{2}}{2 \cdot \sin^{2} (t)} = 2 \cdot {(lim_{t \to 0} \frac{\sinh (t)}{\sin (t)})}^{2}

Nun gilt

lim_{t \to 0} \frac{\sinh (t)}{\sin (t)} = \frac{lim_{t \to 0} \frac{\sinh (t)}{t}}{lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{t}} = \frac{\cosh (0)}{\cos (0)} = \frac{1}{1} = 1

und das oben eingesetzt dann

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (x)} = 2

.

Dabei wurde hier zuletzt NICHT L'Hospital, sondern schlicht die Differentialquotient-Definition per Grenzwert des Differenzenquotienten genutzt, d.h.

lim_{t \to 0} \frac{g (t) - g (0)}{t - 0} = g' (0)

sowohl für

g (t) = \sinh (t)

als auch

g (t) = \sin (t)

Oskar-G aktiv_icon

20:53 Uhr, 19.01.2022

Vielen Dank für die Antworten ich war actaully ziemlich nah dran ich hab nur versucht es mit der Expansion abzuschätzen und das hat nicht ganz hingehauen.

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