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Grenzwert über Potenzreihenentwicklung

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert, Potenreihenentwicklung, Potenzreihe

gotnoidea aktiv_icon

19:08 Uhr, 11.12.2014

Hi,

ich versuche folgenden Grenzwert über die Potenzreihendarstellung der jeweiligen Funktionen zu berechnen:

lim_{x \to 1} \frac{log x}{x^{2} - 1}

Meine Arbeit bisher:

\frac{log x}{x^{2} - 1} = \frac{log x}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{log x}{x + 1} \cdot \frac{1}{x - 1}

\frac{1}{x - 1} = 1 + x + x^{2} + σ (x^{3})

log (1 + z) = x - \frac{x^{2}}{2} + σ (x^{3})

mit

z = x - 1

Jetzt setze ich

z = x - 1

in die

log (1 + z)

-Darstellung ein:

log (x) = x - 1 - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} = - \frac{3}{2} + 2 x - \frac{x^{2}}{2} + σ (x^{3})

und lande bei:

lim_{x \to 1} \frac{log x}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{(- \frac{3}{2} + 2 x - \frac{x^{2}}{2} + σ (x^{3})) (1 + x + x^{2} + σ (x^{3}))}{x + 1}

Mein erstes Problem ist, dass ich hier nicht auf

lim = - \frac{1}{2}

komme.. Wenn ich alle Terme mit

σ (x^{2})

weglasse, komme ich auf 1/2...aber selbst das stimmt ja nicht.. was mich zur zweiten Frage bringt: woher weiß ich, bis einschließlich welcher Ordunung ich entwickeln muss, bzw. welche ich vernachlässigen kann? Wenn ich bei

log (x)

die Ordnung

x^{3}

mitgenommen hätte, wäre noch ein Term

{(x - 1)}^{3}

entstanden und somit eine 1 mehr aufsummiert worden..

Vielen Dank schon mal und viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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DrBoogie aktiv_icon

19:11 Uhr, 11.12.2014

Du musst einfach die Entwicklung für

\log

durch

x - 1

teilen und nichts ausklammern.
Und wie Du auf Deinen Zähler kommst, verstehe ich nicht.

UPDATE. Ach so, habe verstanden. Ne, dass ist komplett in die falsche Richtung.
Kürzen, nicht ausklammern und gewiss keine geometrische Reihe einfügen.

pwmeyer aktiv_icon

19:19 Uhr, 11.12.2014

Noch zur Ergänzung: Wenn der Grenzwert bei

x_{0}

gefragt ist, dann setzt man alle Entwicklungen mit Entwicklungspunkt

x_{0}

an.

Gruß pwm

gotnoidea aktiv_icon

20:02 Uhr, 11.12.2014

Das verstehe ich nicht so richtig.. wie teile ich

log (x) = - \frac{3}{2} + 2 x - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{3})

durch

(x - 1)

?

dann bleibt das

x - 1

ja trotzdem im Nenner stehen? Danke für die Kulanz...

@pwm: Meinst du ich hätte für

log (1 + z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k} - 1}{k} {(z - 1)}^{k}

entwickeln sollen?

LG und danke nochmal

edit: mir ist gerade aufgefallen, dass das Ergebnis in den Lösungen scheinbar falsch ist. Wolfram sagt, dass der Limes gleich

\frac{1}{2}

ist. Demnach würde mein erstes Ergebnis doch funktionieren - wieso sollte man das nicht mit der geometrischen Reihe machen können? Funktioniert sowohl für meinen Term, den ich oben stehen habe, wie auch ohne

O (x^{2})

Mathe45

20:35 Uhr, 11.12.2014

Das Einfachste wäre ja "Regel von L’Hospital"

\frac{ln (x)}{x^{2} - 1} \to \frac{\frac{1}{x}}{2 \cdot x} \to \frac{1}{2 \cdot x^{2}} \to . .

pwmeyer aktiv_icon

12:05 Uhr, 12.12.2014

Hallo,

die Lösung von Mathe45 ist natürlich eine Alternative.

Wenn es mit Potenzreihen gelöst werden soll, dann mache ich das so, dass ich eine neue Variablen einführe - sagen wir

x = x_{0} + w -

und dann nach

w

entwickle. Beim Grenzübergang

x \to x_{0}

ist dann

w = x - x_{0} \to 0

.

Bei Dir also:

f (x) = f (1 + w) = \frac{ln (1 + w)}{w \cdot (2 + w)}

Dann bekommst Du auch das gewünschte Ergebnis, wenn Du die Entwicklung von

ln (1 + w)

(hast Du ja schon aufgeschrieben) einsetzt.

Gruß pwm

DrBoogie aktiv_icon

12:13 Uhr, 12.12.2014

Wie Du durch

x - 1

teilen könntest.
Zuerst mal ist die Entwicklung

\log (x) = x - 1 - \frac{1}{2} (x - 1)^{2} + σ (x^{3})

falsch, richtig ist

\log (x) = x - 1 - \frac{1}{2} (x - 1)^{2} + σ ((x - 1)^{3})

- kleiner, aber feiner Unterschied.
Und weiter musst Du das nicht umformen, sondern so schreiben:

\log (x) = (x - 1) (1 - \frac{1}{2} (x - 1) + σ ((x - 1)^{2}))

und damit

\frac{\log (x)}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (1 - \frac{1}{2} (x - 1) + σ ((x - 1)^{2}))}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{(1 - \frac{1}{2} (x - 1) + σ ((x - 1)^{2}))}{(x + 1)}

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