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Grenzwert und Differenzierbarkeit 1/x^2

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Grenzwert, h-methode

Christian09 aktiv_icon

00:02 Uhr, 16.12.2013

Sry durch öffnen und bearbeiten zweier Postings gleichzeitig ist dieser Ausgangsbeitrag zum Teil verloren gegangen

: (

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Ich hätte ja zwei Möglichkeiten:

Ich schreibe

lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4}

lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4}

f (2) = \frac{1}{4}

lim_{x \to 2^{-}} = lim_{x \to 2^{+}}

gilt und der Funktionswert

f (2)

gleich diesem Grenzwert ist, ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Ich könnte natürlich nun schlichtweg die Ableitung bilden und die Steigung berechnen, aber ich vermute, dass das an dieser Stelle gar nicht erwünscht war. Ich werde also wahrscheinlich mit der

h

Methode vorgehen müssen, die mir dann ja auch die Steigung liefert, oder?! Da dem wahrscheinlich so ist, könnte mir einer mal zeigen wie das geht. Ist ja schon fast peinlich, aber habe ich noch nie gemacht :-D)!

lim_{h \to 2} \frac{(\frac{1}{{(2 + h)}^{2}}) - \frac{1}{2^{2}}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} \frac{(\frac{1}{4 + 4 h + h^{2}}) - \frac{1}{4}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} \frac{(\frac{4}{4 \cdot (4 + 4 h + h^{2})}) - \frac{4 + 4 h + h^{2}}{4 \cdot (4 + 4 h + h^{2})}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} \frac{\frac{4 - (4 + 4 h + h^{2})}{4 \cdot (4 + 4 h + h^{2})}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} \frac{\frac{- 4 h - h^{2}}{16 + 16 h + 4 h^{2}}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} \frac{\frac{- 1 \cdot (4 h + h^{2})}{{(4 + 2 h)}^{2}}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} - \frac{\frac{h (4 + h)}{{(4 + 2 h)}^{2}}}{h}

\Leftrightarrow lim_{h \to 2} - \frac{4 + h}{{(4 + 2 h)}^{2}}

wie muß ich nun weiter vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Christian09 aktiv_icon

01:17 Uhr, 15.12.2013

Komme nicht voran :-D) - erklärt mir das bitte mal!

Eva88 aktiv_icon

02:31 Uhr, 15.12.2013

Der Grenzwert

\frac{1}{x^{2}}

strebt gegen

(\infty)

Der Rest ist falsch, weil deine Theorie falsch ist.

Christian09 aktiv_icon

02:44 Uhr, 15.12.2013

Deshalb brauche ich ja Unterstützung und frage hier nach. Könntest du mir ausführliche Erklärungen und Erläuterungen geben?

Übrigens strebt er nicht gegen unendlich. Er würde gegen 0 streben, für ein unendliches

x!

Aber bei 0 wäre sie dennoch nicht differenzierbar, so wie ich das bisher verstehe!

Davon mal abgesehen, dass es um Differenzierbarkeiten in den jeweiligen Stellen geht!

Ma-Ma aktiv_icon

03:04 Uhr, 15.12.2013

Ich würde bei

a)

nochmal aufsetzen, da dort schon ein grundlegender Fehler drin ist.
Interesse Deinerseits ?

Christian09 aktiv_icon

03:07 Uhr, 15.12.2013

Ja natürlich :-D) - wills ja lernen - die Übung ist ja schon lang gelaufen. Ich gehe jetzt aber alle so durch, dass ich sie lernen kann, weil ich jetzt zum Teil Lösungen habe :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

03:11 Uhr, 15.12.2013

Gut...
Erster Schritt: Mach Dir eine Hand-Skizze oder Online-Skizze.
Zweiter Schritt: Bei

a)

willst Du die Steigung bei

x = 2

mittels Differentialquotienten berechnen. Ist das soweit verständlich ?

Wenn ja, so setzen wir jetzt stur ein.
Gib mal kurzes Feedback, ich rechne dann parallel.

Christian09 aktiv_icon

03:17 Uhr, 15.12.2013

Das verstehe ich jetzt schon nicht :-D) - weil

h

ja gegen 0 geht. Also bestimme ich ja eigentlich den Grenzwert bei null! So verstehe ich das aktuell noch. Das ich für

x

anscheinend 2 eingesetzt habe ist mir dabei aber ein Rätsel.

Das müsstest du mir schon erklären!

Was mir verständlich ist: Wenn ich die Aufgabe löse, so erhalte ich die Steigung, die mir ja dann angegeben wird.

Aber warum

x = 2

und dann

h \to 0

? Für mich ist die h-Methode völlig neu. Muß zugeben, wir haben bestimmte Standardsachen damals in der Schule einfach nicht gemacht!

Ma-Ma aktiv_icon

03:23 Uhr, 15.12.2013

Berechnung der Steigung mittels Differentialquotienten (h-Methode) an der Stelle

x_{0} :

f' (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{(x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Dein

x_{0} = 2

. Siehe Deine Ausgangsformel.

f' (2) = lim_{h \to 0} \frac{(2 + h) - f (2)}{h}

Bis dahin mitgekommen ?

Christian09 aktiv_icon

03:28 Uhr, 15.12.2013

Ja, aber warum muß

h \to 0

gehen.

normalerweise schreibt man ja auch

\frac{f (x) - f (a)}{x - a}

dabei lässt man dann

x \to a

laufen. Also meinen x-Wert gegen den Grenzwert. Die ja irgendwie am Ende gleich sein sollen, da ich mich beliebig nahe dem Grenzwert nähere.

P . S

.

Ich habe mir jetzt mal den Graphen anzeigen lassen und erkenne, dass die Funktion bei 0 nicht differenzierbar ist.

Bei

b)

wird doch aber erst die Differenzierbarkeit von 2 gefragt. Bei

a)

sieht es für mich wie 0 aus!

Ma-Ma aktiv_icon

03:38 Uhr, 15.12.2013

Was wir hier gerade besprechen ist Schulmathematik 11.Klasse !
(Evtl. nochmal Buch für Abitur Einführungsphase beschaffen und nachschlagen.)

Deine Formel im letzten Post beschreibt (anscheinend) Differenzenqoutient.

Die feinen Unterschiede mag ich jetzt nicht erklären, das ist Urschleim aus der Schulmathematik, da solltest Du selbst nochmal nachlesen

. .

. Ich habe den Eindruck, Du vermischst Einiges.

Lass uns einen Punkt konkret abarbeiten

...

.

Übrigens, der Graph bei

x = 0

ist uninteressant, ist doch eh nicht definiert. Warum interessiert Dich

x = 0,

ist nirgendwo gefragt

...

Christian09 aktiv_icon

03:40 Uhr, 15.12.2013

Na weil da steht

h \to 0

:-D)

Deshalb sagte ich ja, dass sie dort nicht differenzierbar ist. Ja, ich weiß, dass es einfacher Stoff ist, aber wir hatten es tatsächlich nicht. Haben direkt Ableitungen etc. bestimmt! Mich nervts ja auch :-D)!

Ich gucke mir jetzt mal Videos zur h-Methode an und hoffe, dass ich dann gleich auf der Höhe bin!

Ma-Ma aktiv_icon

03:43 Uhr, 15.12.2013

Richtig. Da steht

h \to 0

und NICHT

x \to 0

.

Wenn Du magst, rechnen wir in den nächsten

10 min

Punkt

a)

durch und du schaust Dir später die h-Methode an

. .

Christian09 aktiv_icon

03:44 Uhr, 15.12.2013

Ok, machen wirs so!

P . S

. Ich habe ein gutes Video gefunden, welches es mir gut erklärt. Jetzt erscheint mir

h \to 0

sinnvoll, da es sich um ein Hilfs

h

handelt, dass mir das Steigungsdreieck für meine tangente aufbauen soll (wenn

h

nicht gegen 0 geht, dann wären wir noch bei unserer Sekante)

Ma-Ma aktiv_icon

03:50 Uhr, 15.12.2013

Okay, jetzt wird nur ganz simpel alles eingesetzt.

h

ist der Abstand zu Deinem Punkt

x_{0} = 2

und

h

wird immer kleiner, geht also gegen Null.

In Deiner Ausgangsformel

a)

haben wir im ZÄHLER

f (2 + h) - f (2)

.
Und nur genau das machen wir jetzt.

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

x = 2

f (2 + h) - f (2) = \frac{1}{{(2 + h)}^{2}} - \frac{1}{2^{2}}

Fragen dazu ?

Christian09 aktiv_icon

03:53 Uhr, 15.12.2013

Müssen wir nicht noch durch

h

teilen? Weglassen dürfen wirs ja noch nicht an dieser Stelle, oder?

Also

lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{2}} - \frac{1}{2^{2}}}{h}

Christian09 aktiv_icon

03:53 Uhr, 15.12.2013

Mein Rechner spinnt, deshalb mal wieder ein Doppelposting.

Zwischeninfo für dich: Herkunft der h-Methode und Zusammenhang mit der Steigung ist erkannt ;-)! (wir können jetzt ein wenig leichter voran gehen :-D) )

Ma-Ma aktiv_icon

03:59 Uhr, 15.12.2013

JA, wir müssen noch durch

h

teilen. Du hast die KOMPLETTE Formel aufgeschrieben, ich nur den ZÄHLER ( um es Dir einfacher zu machen).

Jetzt löse den ZÄHLER auf und mache ihn gleichnamig.

Ich habe als Zwischenergebnis für den ZÄHLER

\frac{4}{4 (4 + 4 h + h^{2})} - \frac{(4 + 4 h + h^{2})}{4 (4 + 4 h + h^{2})}

Christian09 aktiv_icon

04:03 Uhr, 15.12.2013

Ok, das ist dann soweit wie ich eigentlich unter

b

gemacht habe! Da kam ich bis:

lim_{h \to 0} - \frac{4 + h}{{(4 + 2 h)}^{2}}

Soweit korrekt? Ich habe bereits mit

\frac{1}{h}

multipliziert

(freut sich immer noch, dass er den Hintergrund der h-Methode verstanden hat und wundert sich wie einfach die Begründung dafür ist :-D) :-D) :-D))

Ma-Ma aktiv_icon

04:04 Uhr, 15.12.2013

Vergiss

b) h \to 2

ist falsch und nicht gefragt !

Christian09 aktiv_icon

04:06 Uhr, 15.12.2013

Sry - meinte gegen 0 :-D)

Wir wollen ja die Tangentensteigung ;-)

Ok mach weiter!

Ma-Ma aktiv_icon

04:09 Uhr, 15.12.2013

Wir sind bei

a)

. Wie ist die Steigung bei

x_{0} = 2

.

ZÄHLER aufgelöst:

\frac{- 4 h - h^{2}}{16 + 16 h + 4 h^{2}} = \frac{h \cdot (- 4 - h)}{16 + 16 h + 4 h^{2}}

Kommst Du bis dahin ?

Christian09 aktiv_icon

04:15 Uhr, 15.12.2013

Ja, das meinte ich ja gerade mit der Auflösung der Gleichung in

b!

Mein unachtsames

h \to 2

verzeih mir dabei :-D)!

Ich habe dann unten die binomische Formel angewendet und oben

- 1

ausgeklammert

- \frac{4 h + h^{2}}{{(4 + 2 h)}^{2}}

dann habe ich oben das

h

ausgeklammert

- \frac{h (4 + h)}{{(4 + 2 h)}^{2}}

und konnte dann das

h

kürzen, weil wir ja noch einmal durch

h

teilen mussten bzw. mit

\frac{1}{h}

multiplizieren

Damit kam ich dann auf die Form

- \frac{4 + h}{{(4 + 2 h)}^{2}}

Ma-Ma aktiv_icon

04:24 Uhr, 15.12.2013

Okay, Du bist effizient vorgegangen, brauchtest meine "Krücken" also nicht

. .

.
(Fehler allerdings im Zähler!? Hast Du da was reinmultipliziert?)

Jetzt das Finale:

lim_{h \to 0} - \frac{4 + h}{16 + 16 h + 4 h^{2}} = ... ... . .

Ma-Ma aktiv_icon

04:26 Uhr, 15.12.2013

Zur Kontrolle hier der Graph

... .

Atlantik aktiv_icon

04:27 Uhr, 15.12.2013

Nur als kleine Anregung gedacht! ( Kein "Dazwischengegrätsche" )

\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 2} - 2^{- 2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{2^{- 2} - \frac{1}{4} h + h^{- 2} - 2^{- 2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{1}{4} h + h^{- 2}}{h} =

lim_{h \to 0} (- \frac{1}{4} + h^{- 1}) = - \frac{1}{4}

mfG

Atlantik

Achtung:

lim_{h \to 0} h^{- 1} = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \to 00

Z e i c h n u n g :

Christian09 aktiv_icon

04:29 Uhr, 15.12.2013

Ich habe den gleichen Zähler wie du?!?!?
Ausmultipliziert steht bei mir dann auch

16 + 16 h + 4 h^{2}

Nun - mein Gedanke wäre 0 einzusetzen, wenn man das nun darf. Dann hätten wir die Steigung

- \frac{1}{4}

dort stehen.

Ma-Ma aktiv_icon

04:31 Uhr, 15.12.2013

Du SOLLST

h = 0

einsetzen. Steigung

- 0,25

sieht gut aus !
Siehe Grafik und zusätzlich Ergebnis von "Atlantik" .

Christian09 aktiv_icon

04:35 Uhr, 15.12.2013

Danke euch beiden. Ja Atlantik, dein Gedanke ist auch hilfreich.

Nun. Wie ich die Steigung damit bestimme ist nun klar. Die Ableitung kann ich aber nur mit der Form

\frac{f (x) - f (a)}{x - a}

bestimmen, oder? Ich frage das nur deshalb, damit ich die Zusammenhänge nun ein wenig aufbessere ;-)!

zu

b)

ich kann ja nun begründen, dass die Funktion in 2 differenzierbar ist und tue dies mit

a)

. Da ich ja nun auch die Tangentensteigung kenne, berechne ich noch mein

f (x)

nutze mein

x

und setze alles gemeinsam in

f (x) = m \cdot x + b

ein.

Eine letzte Frage dazu noch: Wäre meine links- und rechtsseitige Annäherung korrekt gewesen und hätte ich es auch damit begründen können?

Ma-Ma aktiv_icon

04:42 Uhr, 15.12.2013

Deine Formel beschreibt den Differenzenquotienten (=mittlere Änderungsrate) , hat nichts mit Steigung an einem bestimmten Wert zu tun.

zu

b)

Neue Rechnung notwendig mit

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

Daraus dann Differenzierbarkeit ableiten(beweisen).

Für Tangentengleichung kannst Du Ergebnisse aus

a)

nutzen.

Christian09 aktiv_icon

04:46 Uhr, 15.12.2013

hmm, ok, dazu melde ich mich dann morgen abend nochmal. Muß relativ früh aufstehen. Soll ich dafür dann ein neues Thema aufmachen?

Ma-Ma aktiv_icon

04:47 Uhr, 15.12.2013

JA, zu

b)

mache am besten einen neuen Post auf.
LG Ma-Ma

Christian09 aktiv_icon

04:48 Uhr, 15.12.2013

Ok, danke dir schon mal ;-)!

Christian09 aktiv_icon

03:53 Uhr, 16.12.2013

Also ich habe jetzt so viel geguckt und gelesen und komme einfach nicht weiter. Vielleicht zeigt mir jemand

a)

das an meinem Beispiel für

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

- mit Hilfe von

lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

- mit der h-Methode
- gibts noch ne einfachere Begründung, außer wenn das nicht definiert ist?

Und erklärts mir auch ein wenig.

Verstanden habe ichs natürlich soweit, dass wenn ein Punkt einer Funktion eine eindeutige Tangente hat, dass die Funktion in diesem Punkt differenzierbar ist.

Eine differenzierbare Funktion ist stetig.

Stetig bedeutet aber nicht unbedingt, dass sie differenzierbar ist. Klar, an einem Knick ist die Tangente nicht eindeutig und so kann es

z . B

- 1

und 1 geben! Umgekehrt kann ich aber sagen, wenn die Funktion nicht stetig ist, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar.

Aber wie rechne ich das

: (-

die Definition habe ich eigentlich schon länger verstanden, aber die Lösung bekomme ich nicht hin.

Christian09 aktiv_icon

04:06 Uhr, 16.12.2013

Ich versuchs mal:

Eine Funktion gilt als differenzierbar, wenn gilt:

m = lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

also:

lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4}}{x - 2}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{4 - x^{2}}{4 x^{2}}}{x - 2}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{+}} \frac{4 - x^{2}}{(4 x^{2}) \cdot (x - 2)}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{+}} - \frac{x^{2} - 4}{(4 x^{2}) \cdot (x - 2)}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{+}} - \frac{(x - 2) (x + 2)}{(4 x^{2}) \cdot (x - 2)}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{+}} - \frac{x + 2}{4 x^{2}} = - \frac{2 + 2}{4 \cdot 2^{2}} = - \frac{1}{4}

lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4}}{x - 2}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{-}} - \frac{(x - 2) (x + 2)}{(4 x^{2}) \cdot (x - 2)}

\Rightarrow lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x + 2}{4 x^{2}} = - \frac{1}{4}

Ist das der richtige Weg? Und ginge die Antwort meiner Aufgabe einfacher?

Christian09 aktiv_icon

10:26 Uhr, 16.12.2013

Eine Antwort wäre natürlich noch, dass eine gebrochen rationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig und differenziebar ist. Aber das reicht denke ich nicht zur Beantwortung der Frage. Sie ist also stetig und knickfrei.

Ma-Ma aktiv_icon

22:20 Uhr, 16.12.2013

Hallo Christian,
hab jetzt nicht alles durchgeguckt, sieht aber gut aus.

Differenzierbar, wenn Funktionswert existiert und der Anstieg bei

lim x \to 2_{+}

und

lim x \to 2_{-}

identisch ist.

Allgemein gesagt, es muss ein Funktionswert an

x = 2

existieren und die Steigungen von rechts genähert und von links genähert müssen identisch sein.

Oder: Funktion musss bei

x = 2

stetig sein UND die Steigungen von rechts und links genähert identisch sein.

(Hätte man auch mit der h-Methode machen können.)

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