Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert und Konvergenz bei Wurzeln

Grenzwert und Konvergenz bei Wurzeln

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

RandomDude aktiv_icon

15:12 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

Wir haben das Thema Grenzwerte und Folgen angefangen und habe dazu aufgaben bekommen. Leider bin ich nicht so geübt drin und benötige Unterstützung.
Ich muss die Konvergenz überprüfen und den Grenzwert bestimmen für:

a_{n} := \sqrt[k]{k \cdot 2^{k} + 3 \cdot k^{5}}

Als Hinweise habe ich bekommen:

Rechenregeln für Grenzwerte, der Schachtelungssatz und

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1

Die Grenzwertrechenregel habe ich mir angeschaut jedoch haben wir nichts zum Schachtelungssatz gemacht.
Ich bitte um Hilfe bei der Aufgabe.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

supporter aktiv_icon

15:20 Uhr, 07.11.2019

Klammere

k

aus und ziehe Teilwurzeln.

2^{k}

wächst schneller als

k^{4}

für

k

gg.

\infty

RandomDude aktiv_icon

15:27 Uhr, 07.11.2019

Hi,

danke für deine Hilfe.
Den Weg hatte ich mir schon überlegt, jedoch komme ich da nicht weiter.

Es kommt doch dann raus:

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k \cdot (2^{k} + k^{4})}

Dies kann man trennen in:

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} \cdot lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{(2^{k} + k^{4})}

Der

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}

ist 1 also gibt es nur noch:

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{(2^{k} + k^{4})}

oder nicht?

Und wie kann ich da weiter vorgehen?

supporter aktiv_icon

15:39 Uhr, 07.11.2019

k^{4}

kann vernachlässigt werden.

- \to

ermanus aktiv_icon

15:40 Uhr, 07.11.2019

Das sollte man aber begründen, wenn man nicht ein so alter Hase wie supporter ist ;-)

RandomDude aktiv_icon

15:45 Uhr, 07.11.2019

Hi,

heißt das jetzt ich kann

k^{4}

vernachlässigen weil

2^{k}

schneller wächst als

k^{4}

oder weshalb genau? Würde dann eine Tabelle in der ich das aufzeichne ausreichen?

Und dann hätte ja man:

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{2^{k}}

und das wäre 2.

Also ist der Grenzwert 2 richtig oder bin ich falsch dran?

supporter aktiv_icon

15:50 Uhr, 07.11.2019

Richtig.

Für große

k

geht

k^{4}

unter gegenüber

2^{k}

RandomDude aktiv_icon

15:51 Uhr, 07.11.2019

Dann vielen lieben Dank für deine Hilfe.
Habe die Hilfe echt gebraucht.

ermanus aktiv_icon

15:58 Uhr, 07.11.2019

Naja in

2^{k} + 3 k^{4}

kann man

3 k^{4}

nur unter gewissen Bedingungen
vernachlässigen, z.B. unter einer

k

-ten Wurzel.
Aber die Frage ist doch, warum das so ist.
Dass

2^{k}

schneller als

3 k^{4}

wächst, sei mal als wahr hingenommen.
Aber warum wird dann unter der

k

-ten Wurzel das schwachwüchsige

3 k^{4}

plötzlich im Grenzfall unwesentlich?

RandomDude aktiv_icon

16:06 Uhr, 07.11.2019

So wie ich das verstanden habe macht es durch die Addition keinen Unterschied, ob man das

3 k^{4}

für die k-te Wurzel dazuaddiert.
Je größer

k

(Basis) dabei ist, desto größer ist auch das

k

in der k-ten Wurzel, sodass die größe von

3 k^{4}

keine Rolle mehr spielt, da die Wurzel auch wächst und so alles unter der Wurzel minimiert.
Dies sollte doch den Grenzwert nichts ausmachen?

Ich bin mir nicht sicher, ob meine Begründung verständlich bzw. logisch ist.
Wie hättest du argumentiert wenn ich fragen darf?

ermanus aktiv_icon

16:16 Uhr, 07.11.2019

Der Grenzwert bleibt unumstritten 2.
Ich würde es so begründen:
es gibt eine nat. Zahl

K

, so dass

2^{k} \geq 3 k^{4}

ist für alle
nat.

k \geq K

. Das ist ja wohl das, was wir mit dem "schneller wachsen"
genau meinen.
Damit haben wir für hinreichend große

k

folgende Ungleichungen

\sqrt[k]{2^{k}} \leq \sqrt[k]{2^{k} + 3 k^{4}} \leq \sqrt[k]{2^{k} + 2^{k}} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{2^{k}}

.
Nun wende das Sandwich-Lemma (oder Einschnürungslemma) an:
Der linke Term ist gleich 2 und der rechte Term geht gegen 2, folglich auch der mittlere.

ermanus aktiv_icon

16:26 Uhr, 07.11.2019

Habe gerade nach dem "Schachtelungssatz" gegoogelt,
das ist das von mir zitierte Einschnürungs- oder Sandwich-Lemma,
manchmal auch Quetsch-Lemma genannt.

RandomDude aktiv_icon

16:31 Uhr, 07.11.2019

Achso ok.

Vielen Dank für deine Antworten.
Wie gesagt haben wir bis jetzt das Schachtelungsgesetz nicht behandelt, weshalb ich das nicht wusste. Aber wie du es formuliert hast leuchtet es mir ein.
Nochmals vielen Dank für eure Unterstützung.

RandomDude aktiv_icon

16:41 Uhr, 07.11.2019

Mir ist gerade aufgefallen, dass du gesagt hast das

\sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{2^{k}}

gegen 2 konvergiert.

Aber konvergiert es nicht gegen 0,da

\sqrt[k]{2}

gegen 0 konvergieren müsste?

RandomDude aktiv_icon

16:44 Uhr, 07.11.2019

Ach ne

\sqrt[k]{2}

konvertiert gegen 1.

Aber das muss ich ja auch erst zeigen.

Tut mir leid mein Fehler

ermanus aktiv_icon

16:53 Uhr, 07.11.2019

Das musst du nur zeigen, wenn es euch nicht offiziell
bekannt ist, dass für jede nat. Zahl

n

\sqrt[k]{n} \to 1

für

k \to \infty

gilt.
Falls ihr das nicht wisst, hast du für

k \geq 2

1 \leq \sqrt[k]{2} \leq \sqrt[k]{k}

und den Schachtelungssatz.

RandomDude aktiv_icon

16:55 Uhr, 07.11.2019

Ich habe mal in meinem Skript nachgesehen und herausgefunden das wir das mit

\sqrt[k]{a} = 1

noch irgendwann machen werden. Also denke ich, dass das gegeben ist.
Somit gibt es keine Probleme mehr.
Danke nochmals.

1485400

1485379

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?