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Grenzwert unendlich durch unendlich

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Tags: Funktion, Grenzwert

Anderlin aktiv_icon

13:58 Uhr, 25.03.2015

Hallo an alle,

Ich muss den Grenzwert der folgenden Funktion berechnen. Dabei darf ich kein L'Hospital verwenden.

Aufgabe:

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^{3}}}{n^{2 n}}$

Dazu habe ich folgendes. Man muss ja schauen was schneller gegen $\infty$ läuft. Das habe ich dann so gemacht:

$\Rightarrow \frac{ln (e^{n^{3}})}{ln (n^{2 n})} = \frac{n^{3}}{2 n ln (n)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n^{2}}{ln (n)} \to (n \to \infty) \frac{1}{2} \cdot \infty$

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^{3}}}{n^{2 n}} = \infty$

Das zeigt doch das $e^{n^{3}}$ schneller gegen $\infty$ läuft?
Ich würde mich freuen wenn jemand zu mir sagen kann ob das so richtig ist oder völliger Blödsinn.

Gruß

Anderlin

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Edddi aktiv_icon

14:08 Uhr, 25.03.2015

$. .$ . dein Argument ist OK. Allerdings musst du noch zeigen, dass $lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{ln (n)} \to \infty$ geht.

Anderlin aktiv_icon

14:10 Uhr, 25.03.2015

Hi Eddi,

achso nach dem Motto:

$\frac{n^{2}}{ln (n)} = \frac{1}{\frac{ln (n)}{n^{2}}} \to (n \to \infty) \frac{1}{0} = \infty$

Gruß

Edddi aktiv_icon

14:16 Uhr, 25.03.2015

$. .$ . und woher weißt du, dass der Nenner $\frac{ln (n)}{n^{2}}$ gegen 0 geht?

Ich würde $lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{ln (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{ln (n)} \cdot n = lim_{n \to \infty} \frac{n}{ln (n)} \cdot lim_{n \to \infty} n$

Man muss jetzt nur zeigen, dass $\frac{n}{ln (n)} \geq 1$ bzw. $n \geq ln (n)$

Vielleicht reicht diese triviale Ungleichung ja schon?

;-)

Anderlin aktiv_icon

14:19 Uhr, 25.03.2015

Ja stimmt,

sieht man ja nicht sofort. Ich denke aber auch das $n \geq ln (n)$ reicht.

Danke noch mal

Gruß

Anderlin

michaL aktiv_icon

14:31 Uhr, 25.03.2015

Hallo,

mit der Argumentation ist ja auch $lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 n} = 0$ , da stets (d.h. wenigstens für $n > 0$ ) ebenfalls $n < 2 n$ gilt.

Denke doch darüber noch einmal nach...

Mfg Michael

Anderlin aktiv_icon

15:05 Uhr, 25.03.2015

Hi,

emm ja das währ natürlich falsch. Aber wie könnte ich das den sonst argumentieren?

Edddi aktiv_icon

15:14 Uhr, 25.03.2015

$. .$ . Deine Argumentaion war nicht ganz falsch!

Es ist lediglich falsch, aus dem schnelleren Anwachsen von $e^{n^{3}}$ im $\frac{e^{n^{3}}}{n^{2 \cdot n}}$ auf die Divergenz zu schließen. Dies würde dann ja auch für $\frac{2 \cdot n}{n}$ bedeuten, dass es divergiert.

Richtig ist aber die Betrachtung von $\frac{1}{2} \cdot \frac{n^{2}}{ln (n)}$ . Zeigt man die Divergenz von $\frac{n^{2}}{ln (n)},$ so divergiert auch $\frac{1}{2} \cdot \frac{n^{2}}{ln (n)}$
Analaog wäre die Betrachtung von $\frac{2 \cdot n}{n} = 2 \cdot \frac{n}{n}$ . Hier konvergiert $\frac{n}{n},$ also konvergiert auch $2 \cdot \frac{n}{n}$

;-)

Edddi aktiv_icon

15:24 Uhr, 25.03.2015

$. .$ . man könnte auch so zeigen:

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^{3}}}{n^{2 \cdot n}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^{3}}}{e^{ln (n^{2 \cdot n})}}$

$= lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^{3}}}{e^{2 \cdot n \cdot ln (n)}}$

$= lim_{n \to \infty} e^{n^{3} - 2 \cdot n \cdot ln (n)}$

;-)

Atlantik aktiv_icon

15:43 Uhr, 25.03.2015

"dein Argument ist OK. Allerdings musst du noch zeigen, dass $lim_{n \to 00} \frac{n^{2}}{ln (n)} \to 00$ geht."

Mit l´Hospital:

$lim_{n \to 00} \frac{n^{2}}{ln (n)} \to lim_{n \to 00} \frac{2 n}{\frac{1}{n}} \to lim_{n \to 00} 2 n^{2} \to 00$

mfG

Atlantik

Edddi aktiv_icon

15:53 Uhr, 25.03.2015

$. .$ . Hallo Atlantik,

beachte die Aufgabenstellung: "... Dabei darf ich kein L'Hospital verwenden..."

;-)

Atlantik aktiv_icon

15:59 Uhr, 25.03.2015

Danke, habe ich übersehen.

mfG

Atlantik

Anderlin aktiv_icon

16:10 Uhr, 25.03.2015

Hi,

Bei der anderen Variante, hast du ja am ende

$= lim_{n \to \infty} e^{n^{3} - 2 n \cdot ln (n)}$

aber währe es dann nicht genauso

$e^{\infty - \infty}$

also ich kann nicht daraus schließen dass es $\infty$ ist.

Gruß

Anderlin

Edddi aktiv_icon

20:25 Uhr, 25.03.2015

Du musst nur den Grenzwert für den Exponenten bestimmen:

$lim_{n \to \infty} n^{3} - 2 \cdot n \cdot ln (n) > lim_{n \to \infty} n^{3} - 2 \cdot n^{2} = lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot (n - 2) = \infty$

Damit ist auch die Potenz $e^{...}$ dann gegen $\infty$

:-)

Anderlin aktiv_icon

11:38 Uhr, 26.03.2015

AAAchso!!!!!!

ok das ist kürzer und schneller $!!!$

Danke

Gruß

Anderlin

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