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Grenzwert unendliche Reihe/Abschätzung gegen oben

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

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00:41 Uhr, 02.11.2012

Gegeben ist die unendliche Reihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt[3]{n^{5} + n^{3} - 1}}

Man soll das Konvergenzverhalten dieser Reihe bestimmen.

Dazu betrachte ich die entsprechende Folge mit der folgenden Ungleichung:

\frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(n^{5} + n^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \leq \frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{5}{3}}}

diese Ungleichung verstehe ich. Ich verstehe aber nicht:

\frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{5}{3}}} \leq 2 \cdot \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{5}{3}}}

wie kommt man auf diese Ungleichung?

Und meine zweite Frage ist: Was wird hier überhaupt für ein Kriterium verwendet? Das Majorantenkriterium ist es ja nicht, oder? Dafür müsste man ja stets unendliche Reihen betrachten.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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\frac{\infty}{\infty}

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Bummerang

07:00 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

schau Dir Deine Summe an, da steht implizit:

n \geq 1

. Daraus machen wir mal folgendes:

1 \leq n | \cdot 3

3 \leq 3 \cdot n

und damit

1 < 3 \leq 3 \cdot n

was man verkürzen kann zu

1 < 3 \cdot n | + n

n + 1 < 4 \cdot n

wegen der strengen Monotonie der Wurzelfunktion gilt dann auch

{(n + 1)}^{\frac{1}{2}} < {(4 \cdot n)}^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot n^{\frac{1}{2}}

{(n + 1)}^{\frac{1}{2}} < 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} | : n^{\frac{5}{3}};

der Divisor ist größer Null

\Rightarrow

kein Relationszeichenwechsel

\frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{5}{3}}} < 2 \cdot \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{5}{3}}}

Und wenn etwas kleiner ist, dann ist es sicher auch kleiner oder gleich...

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11:47 Uhr, 02.11.2012

Holy

. .

. - wie kommt man da drauf? :-D)
Vielen Dank.

Zu meiner zweiten Frage: Was ist damit für die unendliche Reihe gezeigt - bzw. um welches Kriterium handelt es sich?

Lg

Bummerang

12:36 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

finde zu einer vermutet konvergenten Reihe eine konvergierende Majorante, dann kann man das Majorantenkriterium anwenden. Anders herum: Finde zu einer vermutet divergenten Reihe eine divergente Minorante, dann nutzt Du das Minorantenkriterium.

Was Du damit gewonnen hast? Du kannst jetzt kürzen und hast dann

2 \cdot \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{5}{3}}} = 2 \cdot \frac{1}{n^{\frac{7}{6}}}

Die 2 kann man aus der Summe herausziehen und für Exponenten größer 1 konvergiert die Reihe nach entsprechendem Satz...

Miausch aktiv_icon

13:43 Uhr, 02.11.2012

Alles klar, vielen Dank!

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