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Grenzwert von n^10/n!

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Fakultät, Grenzwert, Hoch, n²

ihrkenntmich aktiv_icon

18:47 Uhr, 05.11.2009

Hey ich hab eine Frage, und zwar wie zeige ich dass

\frac{n^{10}}{n!}

den Limes 0 hat? Dass es so ist, ist ja klar aber wie zeig ich es?

Außerdem bräuchte ich noch einen Lösungsansatz für einen Grenzwert von

\frac{10^{n}}{n!}

danke shconmal im Voraus

mfg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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\frac{0}{0}

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\frac{\infty}{\infty}

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

m-at-he

18:56 Uhr, 05.11.2009

Hallo,

\frac{n^{10}}{n!} = \frac{1}{(n - 10)!} \cdot (\frac{n}{n - 9} \cdot \frac{n}{n - 8} \cdot \frac{n}{n - 7} \cdot \frac{n}{n - 6} \cdot \frac{n}{n - 5} \cdot \frac{n}{n - 4} \cdot \frac{n}{n - 3} \cdot \frac{n}{n - 2} \cdot \frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n}{n})

= \frac{1}{(n - 10)!} \cdot (\frac{n}{n - 9} \cdot \frac{n}{n - 8} \cdot \frac{n}{n - 7} \cdot \frac{n}{n - 6} \cdot \frac{n}{n - 5} \cdot \frac{n}{n - 4} \cdot \frac{n}{n - 3} \cdot \frac{n}{n - 2} \cdot \frac{n}{n - 1})

Gegen was gehen denn die Faktoren in der Klammer für

n \to \infty

und wogegen geht

\frac{1}{(n - 10)!}

?

Bei

\frac{10^{n}}{n!}

macht man für

n > 20

folgendes:

\frac{10^{n}}{n!} = \frac{10^{20}}{20!} \cdot \frac{10}{21} \cdot . .

< \frac{10^{20}}{20!} \cdot \frac{1}{2} \cdot . .

= \frac{10^{20}}{20!} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 20}

Der erste Faktor ist eine Konstante, der zweite geht gegen

. .

dywi- aktiv_icon

19:29 Uhr, 05.11.2009

Ein allgemeiner Beweis für

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(für alle a el

ℝ) :

Sei

a > 0

. Dann gilt für alle

n_{0} > 2 a

\frac{a^{n_{0} + 1}}{(n_{0} + 1)!} = \frac{a}{n_{0} + 1} \cdot \frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!} < \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}

\frac{a^{n_{0} + k}}{(n_{0} + k)!} < \frac{1}{2^{k}} \cdot \frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}

(mit Induktion nach

k)

Sei nun ein

ε > 0

fest gewählt. Sei

k

so groß, dass

\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}! \cdot ɛ} < 2^{k}

ist.
Dann gilt

0 < \frac{a^{n_{0} + k}}{(n_{0} + k)!} < \frac{1}{2^{k}} \cdot \frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!} < ɛ

,und damit

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

.

Dies gilt auch für

a < 0,

denn

- a > 0

und wegen

\frac{a^{n}}{n!} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(- a)}^{n}}{n!}

folgt wieder

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

.

Dieser Beweis ist mehr oder weniger einem Uni-Skriptum entnommen.

m-at-he

19:46 Uhr, 05.11.2009

Hallo,

da gibt es ja keinen Unterschied zu meiner Lösung, außer daß hier mit a statt der

10

gearbeitet wird und daß man beim Lesen dieses Beweises mitunter verwirrt wird, weil dort

a_{n_{0}}

steht, wo eigentlich

a^{n_{0}}

stehen müßte.

dywi- aktiv_icon

19:57 Uhr, 05.11.2009

"da gibt es ja keinen Unterschied zu meiner Lösung"
Da hast du völlig recht, ich hatte das Antworten-Fenster schon im Hintergrund offen, habe aber erst später eine Antwort hierzu verfasst, ohne zu schauen, ob schon zuvor jemand geantwortet hat - mein Fehler.
Der Fauxpas mit den Indizes/Potenzen ist natürlich behoben.

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