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Grenzwert/Polynomdivision

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

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17:34 Uhr, 19.06.2016

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion, falls dieser vorhanden ist:

\frac{x^{4} + 2 x^{2} - 3}{x^{2} - 3 x + 2} lim x \to 1

So, das Problem, das ich hierbei habe, ist die Polynomdivision, die man benötigt, um zu dem Grenzwert zu kommen..

... (x^{4} + 2 x^{2} - 3) : (x^{2} - 3 x + 2) = x^{2} + 3 x + 9 + \frac{15 x + 21}{x^{2} - 3 x + 2}

- (x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2})

- - - - - - - -

. . (3 x^{3} - 3)

- (3 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x)

- - - - - - - -

. . (9 x^{2} - 6 x - 3)

- (9 x^{2} - 21 x + 18)

- - - - - - - -

15 x - 21

Ich habe nämlich keine Ahnung, ob das jetzt so richtig ist?

Hiermit würde ich auf folgendes Problem stoßen:

x^{2} + 3 x + 9 + \frac{15 x + 21}{(x - 1) \cdot (x - 2)}

Ich kann 1 immer noch nicht einsetzen...

Danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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17:44 Uhr, 19.06.2016

"Ich habe nämlich keine Ahnung, ob das jetzt so richtig ist?"

Nein.
Und die Idee an sich ist nicht die beste.
Teile den Zähler durch

x - 1

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18:03 Uhr, 19.06.2016

Du kannst faktorisieren und kürzen:

Mit Vieta ergibt sich:

\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 3)}{(x - 1) (x - 2)}

x^{2} - 1 = . .

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17:29 Uhr, 20.06.2016

Wieso sollte ich das durch

(x - 1)

teilen?
Es ist eine Nullstelle, aber komme ich damit auch auf den Grenzwert?

Laut meinen Musterlösungen wurde auch durch den Nenner geteilt.
Von daher würde ich gerne diesen Ansatz verstehen?
Wie gehe ich denn bei solchen "komplizierteren" Polynomdivisionen vor?

Danke

michaL aktiv_icon

17:45 Uhr, 20.06.2016

Hallo,

> Wieso sollte ich das durch (x−1) teilen?

Auf 'ne dumme Frage 'ne dumme Antwort:
Damit du die Aufgabe lösen kannst.

Problem ist, dass der Nenner deines Termes eine Nullstelle bei

x = 1

hat. Der Bruch ist also für

x = 1

nicht definiert.
Nun schaue dir supporters Faktorisierung von Zähler und Nenner an. Du solltest erkennen, dass sich das Problem (Nennernullstelle

x = 1

) herauskürzen lässt.

Du hast dann einen Term, der für alle Werte von

x \neq 1; 2

wertgleich ist zu dem Ausgangsbruch und der zusätzlich für

x = 1

definiert ist. Du kannst dann also einsetzen (

x = 1

).

Mfg Michael

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11:35 Uhr, 21.06.2016

Also heißt das, dass man die Polynomdivision nicht auf dem Weg lösen kann, wie ich das anstellen wollte?
Okay, aber wie man dort

(x - 1)

rauskürzen kann, erkenne ich dennoch nicht?

(x^{2} - 1)

kann man doch nicht mir

(x - 1)

kürzen?
Odder bleibt dann einfach nur

x

stehen?

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11:38 Uhr, 21.06.2016

(x^{2} - 1) = (x + 1) (x - 1)

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11:51 Uhr, 21.06.2016

Ah okay, stimmt. An diese Möglichkeit hab ich gerade warum auch immer nicht gedacht. ^^"
Und dann ist eine Polynomdivision ja ganz einfach.

Aber meine eigentliche Frage vom Anfang war ja, ob es auch ohne Kürzen geht?

DrBoogie aktiv_icon

11:58 Uhr, 21.06.2016

"Aber meine eigentliche Frage vom Anfang war ja, ob es auch ohne Kürzen geht?"

Geht. Mit L'Hospital.
Was Du versucht hast, bringt nichts.

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16:37 Uhr, 21.06.2016

kann man nicht einfach den Restbruch stehen lassen?
Oder MUSS man vorher vereinfachen?

DrBoogie aktiv_icon

16:42 Uhr, 21.06.2016

Du kannst alles Mögliche tun.
Aber ob Du dann das Ziel erreichst, ist eine andere Frage.
Wie willst Du mit dem Restbruch den Grenzwert berechnen?

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17:49 Uhr, 21.06.2016

(x^{4} + 2 x^{2}

−

3) : (x^{2}

−

3 x + 2) = x^{2} + 3 x + 9 + \frac{21 (x - 1)}{x^{2} - 3 x + 2}

Das soll laut meiner Musterlösung rauskommen.

Dann wird dort

(x - 1)

ausgeklammert, gekürzt und 1 eingesetzt.
Aber wie komme ich auf

x^{2} + 3 x + 9 + \frac{21 (x - 1)}{x^{2} - 3 x + 2}

?
Daher wollte ich von Anfang an wissen, wie man die Polynomdivision bei solch "komplizierten" Ausdrücken richtig macht?

Danke

DrBoogie aktiv_icon

18:39 Uhr, 21.06.2016

So kompliziert ist es nicht.
Man teilt Polynome genau wie Zahlen, es ist nur schwer hier das aufzuschreiben.
Kuck hier:
http//www.frustfrei-lernen.de/mathematik/polynomdivision.html

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19:51 Uhr, 21.06.2016

Jo, okay.

\land

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