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Grenzwertbegriff für Funktionen

Schüler

Tags: Analysis, Funktion, Grenzwert

Sabine2 aktiv_icon

19:45 Uhr, 25.09.2013

Hallo,
ich habe folgende Definition zu finden (ähnlich auch in Wiki zu finden):
Sei

f : U \subseteq ℝ \to ℝ

eine Funktion und

a \in U

f

konvergiert bei a gegen die Zahl

g \in ℝ : \Leftrightarrow

für jede gegen a konvergierende Folge

{(a_{n})}_{n}

mit

a \in U \forall n \in ℕ

gilt

lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = g

. Bezeichnung ist

lim_{x \to a} f (x) = g

.

Ich verstehe das nicht richtig. Was heißt es, wenn

f

an einer Stalle a gegen einen Grenzwert konvergiert?
Und was die Folgen damit zu tun haben, ist mir auch unklar. Ich hoffe, einer kann das verständlich (vielleicht an einem Beispiel?) erklären.

Danke!
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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ARTMath100 aktiv_icon

23:29 Uhr, 25.09.2013

Der von Dir zitierte Zusammenhang wird auch als Folgenkriterium für den Nachweis der Konvergenz einer Funktion an einer Stelle x=a bezeichnet.

Von einen Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x=a spricht man, wenn für x->a die Funktionswerte f(x) sich einem bestimmten Wert nähern, bei stetigen Funktionen, die an der Stelle x=a definiert sind, ist dies g=f(a).

z.B. f(x)=x^2 hat an der Stelle x=2 den Grenzwert f(2)=2^2=4.

Die Funktion muß an der Stelle x=a jedoch nicht zwingend definiert sein:

z.B. x=a=-1

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

ist an der Stelle x=-1 nicht definiert (Genauer: x=-1 ist eine behebbare Definitionslücke). Siehe auch Skizze. Offensichtlich streben die Funkionswerte für x->-1 gegen -2.

Der Nachweis mit dem Folgenkriterium läuft wie folgt:

Sei $(a_{n})$ eine beliebige Folge in $R \ {- 1}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_{n} = - 1$ , dann gilt:

$\lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}^{2} - 1}{a_{n} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(a_{n} - 1) \cdot (a_{n} + 1)}{a_{n} + 1} = \underset{n \to \infty}{\lim (a_{n} - 1)}$

Mit den Rechenregeln für konvergente Folgen und der Prämisse folgt weiter:

$\lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = \lim_{n \to \infty} a_{n} - \lim_{n \to \infty} 1 = - 1 - 1 = - 2$

Da $(a_{n})$ eine beliebige Folge, gilt dies für jede Folge in $R$ und mit dem Folgenkriterium folgt:

$\lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = - 2$

Gegenbeispiel:

Sprungfunktion:

$f (x) = {\begin{matrix} 0; x < 2 \\ 1; x \geq 2 \end{matrix}$

Sei $(a_{n})$ und $(b_{n})$ Folgen im Definitionsbereich von f mit

$a_{n} = 2 - \frac{1}{n} b_{n} = 2 + \frac{1}{n}$

dann gilt:

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = 2$

aber

$\lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = 0 \neq 1 = \lim_{n \to \infty} f (b_{n})$ da $2 - \frac{1}{n} < 0$ und $2 + \frac{1}{n} > 2$ für alle n

Mit dem Folgenkriterium folgt, dass die Funktion an der Stelle x=2 keinen Grenzwert besitzt. Man kann auch sagen, daß links- und rechtseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen!

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Sabine2 aktiv_icon

07:14 Uhr, 26.09.2013

Danke bis hier hin :-)
Das verstehe ich ja auch alles, mir geht es nur darum, warum das Folgekriterium gilt.
Ich möchte keinen Beweis (falls das überhaupt möglich ist, es ist ja ne Definition), sondern vllt. eine anschauliche Erklärung. Gerne auch einen Link, ich habe keinen gefunden.

Schönen Tag ;-)
Sabine

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