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Grenzwertbestimmung arctan

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Anazoo aktiv_icon

17:53 Uhr, 31.08.2011

hallo,

ich soll den limes mit

x \to

unendlich für folgende funktion berechnen:

f (x) = \frac{Π}{2} -

arctan (x)

/ (e^{- x})

(e^{- x})

steht als Nenner unter dem gesamten Zähler, bekomme das selbst mit klammersetzung hier nicht so schön hin :-)

ich habe dazu leider zwei lösungsmöglichkeiten und würde gern wissen, welche richtig ist und warum die andere falsch ist.

1. Möglichkeit

lim x \to

unendlich

f (x) = \frac{Π}{2} - \frac{Π}{2} / (

1/e^unendlich)=

\frac{0}{0}

und dann Regel von l´Hospital

2. Möglichkeit

lim x \to

unendlich

f (x) = \frac{Π}{2} - \frac{Π}{2} \cdot

e^unendlich

= 0 \cdot

unendlich
in diesem fall müsste ich doch mit der Umkehrfunktion von arctan rechnen, richtig?

vielen lieben dank an euch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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Shipwater aktiv_icon

17:56 Uhr, 31.08.2011

Versuch es doch mit L'Hospital. Deine zweite Idee verstehe ich nicht.

pleindespoir aktiv_icon

17:57 Uhr, 31.08.2011

f (x) = \frac{π}{2} - a r c t a n \frac{x}{e^{- x}}

f (x) = \frac{π}{2} - a r c t a n (x \cdot e^{x})

oder nicht ?

Shipwater aktiv_icon

17:58 Uhr, 31.08.2011

Gemeint ist

\frac{\frac{π}{2} - a r c t a n (x)}{e^{- x}}

Anazoo aktiv_icon

18:02 Uhr, 31.08.2011

genau, shipwater hat das richtig erkannt :-)

also bei meiner zweiten idee dachte ich mir folgendes:

wenn

z . B

e^{- 2}

als bruch

\frac{1}{e^{2}}

ist

kann dann

\frac{1}{e^{- x}}

auch das sein:

e^{x}

?

weiste wie ich das meine?

Shipwater aktiv_icon

18:06 Uhr, 31.08.2011

Das ist klar, aber wie du dann auf Umkehrfunktion kommst, erschließt sich mir nicht. Du kannst froh sein, dass die Aufgabe direkt in der L'Hospital-freudigen Form

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{π}{2} - a r c t a n (x)}{e^{- x}}

gestellt wurde. Normal würde man das ja schreiben als

lim_{x \to \infty} e^{x} \cdot (\frac{π}{2} - a r c t a n (x))

und hätte damit einen klassischen Fall von

0 \cdot \infty

was einem so zunächst überhaupt nichts sagt. Also danke dem Aufgabensteller und wende die Regel von L'Hospital an. ;-)

Anazoo aktiv_icon

18:12 Uhr, 31.08.2011

die idee mit der umkehrfunktion bei diesem fall hab ich von irgendeiner internetseite...

ok, vielen dank für deine hilfe

eine frage hätte ich da aber noch:

ich soll den

lim x \to 0

für

x^{x}

bestimmen...nun soll das als exponentialfunktion geschrieben werden, also ich hab da:

e^{x \cdot ln (x)}

als ergebnis.

unabhängig davon, ob mein ergebnis jetzt richtig oder falsch ist, würd ich gern wissen, mit welcher begründung man

x^{x}

als exponentialfunktion schreiben kann?

Shipwater aktiv_icon

18:15 Uhr, 31.08.2011

e^{ln (x)} = x

gilt für alle

x > 0

weil sich Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus ja gegenseitig aufheben.

x^{x} = e^{x \cdot ln (x)}

ist also eine legitime Umformung.

prodomo aktiv_icon

18:15 Uhr, 31.08.2011

Vielleicht hilft es weiter, dass es ja eine einfache Reihe für arctan gibt. Die Ableitung nehmen, ausdividieren und termweise integrieren.

Anazoo aktiv_icon

18:29 Uhr, 31.08.2011

ah, alles klar!

also ich hab jetzt mit l´hospital nochma meine erste idee berechnet, komme wieder auf

\frac{0}{0}

darf ich jetzt davon ausgehen, dass es keinen grenzwert gibt oder muss ich nochmal ableiten?

Shipwater aktiv_icon

19:06 Uhr, 31.08.2011

Du kriegst ja dann

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}

e^{x}

wächst schneller als jede ganzrationale Funktion also ist der Grenzwert eigentlich schon jetzt klar. Formal ganz korrekt eben noch zweimal L'Hospital anwenden, dann wird es richtig klar.

Anazoo aktiv_icon

19:31 Uhr, 31.08.2011

also,

bei mir ist die erste ableitung

f´(x)

= - (\frac{1}{1 + x^{2}} / (- e^{- x}))

und

f´´(x)

= - \frac{\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}}{e^{- x}}

und da kommt dann doch wieder

\frac{0}{0}

raus...

was mach ich denn falsch?

Shipwater aktiv_icon

19:46 Uhr, 31.08.2011

Die "erste Ableitung" kannst du doch vereinfachen:

\frac{- \frac{1}{x^{2} + 1}}{- e^{- x}} = \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}

Dann noch zweimal L'Hospital.

Anazoo aktiv_icon

20:08 Uhr, 31.08.2011

ja, mit der vereinfachung ist es sicherlich einfacher ;-) zu rechnen, aber da ich nicht von selbst draufgekommen bin, würde das für mich keinen sinn machen. ich würde daher gern mit der nicht vereinfachten form weiterrechnen. ich müsste ja dennoch auf das selbe ergebnis kommen..

also meine f´´´(x)

= \frac{- \frac{8 x}{{(1 + x^{2})}^{3}}}{- e^{- x}}

und ja, nun kommt wieder

\frac{0}{0}

raus...

Shipwater aktiv_icon

20:14 Uhr, 31.08.2011

Ich befürchte so bleibst du in einer ewigen

\frac{0}{0} - S c h l e i f e

ist also wenig erfolgsversprechend. :-)

Anazoo aktiv_icon

20:15 Uhr, 31.08.2011

also bin ich quasi "gezwungen" das zu vereinfachen...:-)

Shipwater aktiv_icon

20:18 Uhr, 31.08.2011

Wäre besser :-D)

Anazoo aktiv_icon

22:55 Uhr, 31.08.2011

danke dir :-)

nun hab ich ein ähnliches problem, aber eine andere funktion (limes

x \to

unendlich) und

n

sei element der Natürlichen Zahlen

g (x) = x^{n} e^{- x} =

unendlich

\cdot 0,

vereinfacht :-) heist das

g (x) = \frac{x^{n}}{e^{x}}

und das ist unendlich/unendlich also l´hospital

g´(x)= (nx^(n-1))/

(e^{x}) =

unendlich/unendlich

aber jetzt seh ich ja schon, dass egal wieoft ich das ableite, ich immer das selbe ergebnis haben werden..richtig? also ist dann der grenzwert nicht definiert?

Shipwater aktiv_icon

22:58 Uhr, 31.08.2011

x^{n}

wird irgendwann konstant aber

e^{x}

bleibt. Also ist der Grenzwert 0. Das meinte ich oben auch mit:

e^{x}

wächst schneller als jede ganzrationale Funktion

Anazoo aktiv_icon

23:00 Uhr, 31.08.2011

ach ja :-) sry, war jetzt aber wirklich nen bisschen überflüssig von mir...

aber dennoch danke, dass du darauf noch geantwortet hast ;-)

Shipwater aktiv_icon

23:04 Uhr, 31.08.2011

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