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Grenzwertbeweis

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert

Kubrick-Fan aktiv_icon

22:18 Uhr, 10.05.2023

Hallo,

folgende Grenzwertaufgabe:

zeige, dass

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

und folgere, dass für alle

p_{0}, ..., p_{k} \in (0, \infty)

schon gilt, dass

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{p_{0} + p_{1} \cdot n + p_{2} \cdot n^{2} + ... + p_{k} \cdot n^{k}} = 1

Hierbei soll der binomische Lehrsatz verwendet werden, um zuerst als Hilfssatz zu zeigen, dass für

x \geq 0

und

n \geq 2

gilt, dass

{(1 + x)}^{n} > \frac{n^{2} \cdot x^{2}}{4}

wobei ich hier aber auch nicht weiterkomme.

Würde mich über einen Tipp sehr freuen.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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HAL9000

09:34 Uhr, 11.05.2023

1) Laut Binomischen Lehrsatz gilt ja

{(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) x^{k}

.

Ist nun

x \geq 0

, dann sind sämtliche Summenglieder

\geq 0

(und das für

k = 0

sogar

> 0

), man kann die Summe daher nach unten abschätzen, indem man alle Summenglieder bis auf eins weglässt. Genau das machen wir hier mit Summenglied

k = 2

, was natürlich nur im Fall

n \geq 2

überhaupt möglich ist:

{(1 + x)}^{n} > (\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) x^{2} = \frac{n (n - 1)}{2} x^{2}

.

Nun gilt für

n \geq 2

ja auch

\frac{n (n - 1)}{2} \geq \frac{n^{2}}{4}

, womit der Nachweis von

{(1 + x)}^{n} > \frac{n^{2}}{4} x^{2}

komplett ist.

2) Diese Ungleichung kann man nun auf

x = \sqrt[n]{n} - 1

anwenden, es ergibt sich

n = {(1 + x)}^{n} > \frac{n^{2}}{4} x^{2}

, umgestellt

x < \frac{2}{\sqrt{n}}

.

Insgesamt haben wir damit für alle

n \geq 2

das Sandwich

0 < \sqrt[n]{n} - 1 < \frac{2}{\sqrt{n}}

. Noch Fragen zur ersten Behauptung?

3) Offenkundig gilt für alle

n \geq 1

die Abschätzung

p_{k} n^{k} \leq p_{0} + p_{1} n + p_{2} n^{2} + \dots + p_{n} n^{k} \leq (p_{0} + p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n}) n^{k}

,

was dann ebenfalls zu einem leicht beherrschbaren Sandwich führt.

Kubrick-Fan aktiv_icon

20:09 Uhr, 16.05.2023

Danke dir Hal, so habe ich es hinbekommen.

Mal ne blöde Anfängerfrage:

warum kann ich nicht damit argumentieren, dass die Folge

\frac{1}{n}

gegen 0 konvergiert und da sich die Folge hier ja im Exponent befindet, also deren Grenzwert 0 ist und dann mit der Definition, dass alles hoch null eben eins ergibt, argumentieren?
Warum wäre das jetzt kein zulässiger Beweis, ich kann das noch nicht ganz verstehen.

BG

Roman-22

22:37 Uhr, 16.05.2023

>

mit der Definition, dass alles hoch null eben eins ergibt, argumentieren?
"alles" ist dabei aber eine (endliche) Zahl.
Du hast es aber mit einem unbestimmten Ausdruck der Form "

\infty^{0}

" zu tun.
Deine Argumentation berücksichtigt ja auch die Basis überhaupt nicht und stellt nur auf den Exponenten

\frac{1}{n}

ab.
Was wäre denn dann mit zB

lim_{n \to \infty} {(5^{n})}^{\frac{1}{n}} = 5

oder

lim_{n \to \infty} {(n^{n})}^{\frac{1}{n}} \to \infty

?
Nach deiner Argumentation wären die beiden auch jeweils 1 ;-)

Genau so könntest du dann ja auch fälschlicherweise bei einem unbestimmten Ausdruck der Form "

\frac{0}{0}

" argumentieren, dass das immer 0 wäre, weil ja Null durch "irgendwas" immer Null ist. Oder auch, dass der Ausdruck gegen Unendlich strebt, weil man ja durch etwas infinitesimal Kleines dividiert. Oder du behauptest gar, der Grenzwert wäre

1,

weil man ja im Zähler und Nenner das gleiche stehen hat ;-)

Kubrick-Fan aktiv_icon

22:47 Uhr, 16.05.2023

Danke Roman, da war ich wohl (etwas sehr) wirr.

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