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Grenzwerte

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert

letizia1234 aktiv_icon

10:10 Uhr, 29.09.2015

Hallo kann mir bitte jemand helfen zum Thema Grenzwerte, oder mir einen Link schicken wo es gut erklärt ist, in meinem Mathebuch verstehe ich es nicht so.

Ich versteh schon, dass der Grenzwert immer eine Zahle ist gegen die eine Funktion geht. Und ich kann auch jede Funktion zeichnen und mir es vorstellen.

der rechtseitige Grenzwert ist wenn ich die rechte seit bzw beim linkswertigen Grenzwert die linke Seite betrachte oder ?

Zum Beispiel

Überlegen Sie sich den links-bzw. rechtssteitigen Grenzwert für

lim f (x)

x

Pfeil nach oben 0

lim f (x)

x

Pfeil nach unten 0

für

f (x) 1

für

x

IST NICHT 0
0 für

x = 0

Dann zum Beispiel bei Rechenaufgaben

Bestimmen Sie

lim x

Pfeil nach unten

1 . .

x^{3} - 4 x + 1 ... .

.

muss ich dann in die Funktion für 1 einsetzen?
und wenn steht

lim

gegen unendlich was muss ich dann einsetzen

zB wie löst man dieses Beispiel

lim x \Rightarrow

unendlich (9x^2+5-3pi)

/ 5 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1

vereinfachen und dann die höchste Potenz beachten?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Matheboss aktiv_icon

10:26 Uhr, 29.09.2015

Bei Schreibweisen für Grenzwerte gibt es mehrere.
Hier im Forum benütze ich

linksseitiger Grenzwert

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} (x^{3} - 4 \cdot x + 1) = - 2

dementsprechend für rechtseitigen Grenzwert

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (x^{3} - 4 \cdot x + 1) = - 2

Hier setzt man, wie Du sagst einfach die Zahl 1 ein.

Bei anderen Grenzwerten muss man oft umformen

lim_{x \to \infty} \frac{9 \cdot x^{2} + 5 - 3 \cdot π}{5 \cdot x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} \cdot (\frac{9}{x} + \frac{5}{x^{3}} - \frac{3 \cdot π}{x^{3}})}{x^{3} \cdot (5 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}})} =

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9}{x} + \frac{5}{x^{3}} - \frac{3 \cdot π}{x^{3}}}{5 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}} = \frac{0 + 0 + 0}{5 + 0 - 0 + 0} = 0

\frac{a}{x^{n}}

Nullfolgen sind für

n \in ℕ

letizia1234 aktiv_icon

10:48 Uhr, 29.09.2015

herzlichen Dank!

Was ist der Unterschied zwischen den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert?
Die selbe Zahl wird eingesetzt und das Selbe Ergebnis?

Zur letzen Rechnenaufgabe
wie komme ich zu den letzten Schritt, bzw zu den ganzen 0
setze ich für

x

" unendlich" ein so dass es überall außer bei der

5, 0

rauskommen?

Danke

letizia1234 aktiv_icon

10:55 Uhr, 29.09.2015

Und noch eine Frage :-)

lim h

Pfeil zeigt nach unten 0

was ist der Unterschied wenn der Pfeil nach oben, und wenn der Pfeil nach unten zeigt.
Von welcher Seite die Funktion kommt?

zB habe ich stehen

"Wir können uns auch rechnerisch davon überzeugen, dass der Differentialquotient an der Stelle

x = 0

nicht existiert"

lim h

Pfeil zeigt nach unten

0 = \frac{f (0 + h) - f (0)}{h} = lim h

Pfeil zeigt nach oben

\frac{(1 - h) - 1}{h}

\Rightarrow

wie komme ich dazu kann das irgendwie nicht nachvollziehen.

Vielen Dank und sry das ich so blöde Fragen stelle..

Matheboss aktiv_icon

10:56 Uhr, 29.09.2015

Linkseitiger Grenzwert heißt ganz einfach, Du kommst von links an die Zahl, analog rechtseitig.
Bei Deiner Beispielsaufgabe ist es unwichtig.
Aber hier

f (x) = \frac{1}{x}

mit

D = ℝ

{

0}

ist es nicht unwichtig, ob Du von links oder von rechts Dich annäherst.

lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty

hier setzt Du eine negative sehr kleine Zahl ein und der Wert ("Grenzwert existierthier nicht )" ist negativ.

Dementsprechend für eine sehr kleine positive Zahl

0^{+}

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

Die Letzte Aufgabe hast Du richtig erkannt.
Du setzt eine "unendlich" große Zahl ein für

x

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

Matheboss aktiv_icon

11:06 Uhr, 29.09.2015

Diese Schreibweise mit Pfeil nach oben oder unten ist mir unbekannt, aber ich denke, es ist ebenfall eine Schreibweise für den linkseitigen, bzw. der rechseitigen Grenzwert.

Wie gesagt es gibt auch die Schreibweise mir

h > 0

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{h \to 0} f (1 + h) = .

.

Wie heißt denn diese Funktion, bei der der Differentialquotient bei

x = 0

nicht existiert?

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