Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwerte bestimmen, Infimum und Supremum

Grenzwerte bestimmen, Infimum und Supremum

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

DerFuchs1337 aktiv_icon

15:00 Uhr, 23.03.2016

Hallo, ich habe Probleme folgende Grenzwerte zu bestimmen:

an= (3√(n^2+1)cos(n!))/(n+1)

Die 3 steht hier für die dritte Wurzel.

cn=

{(- 2)}^{n} + \frac{3^{n}}{{(- 2)}^{n}} + 1 + 3^{n} + 1

Hier habe ich als Grenzwert eins ermittelt, was laut plot nicht wirklich hinkommt.

dn= n(√(n^4+n+1)-√(n^4+1)) mit

n \geq 1

Ich weiß bei den ganzen Folgen noch nicht wie weit ich umformen darf, ich kann dn beispielsweise doch nicht quadrieren und dann auflösen, so komme ich ja nicht an den Grenzwert?

Infimum und Supremum muss ich hier bestimmen und begründen:

an=

\frac{1}{n + 1} \cdot (2 {(- 1)}^{n} n + 3)

\frac{1}{n + 1}

konvergiert gegen Null, dh betrachte den Zweiten teil
für

n

gerade:

\frac{1}{2 k + 1} \cdot (2 {(- 1)}^{2} k \cdot 2 k + 3)

da nur der zweite Teil relevant ist, und für

n = 2 k

dieser immer größer wird, da mit

2 k

multipliziert wird, muss das Supremum ja laut dieser Teilfolge eigentlich bei

n = 2

liegen, da es die erste gerade Zahl ist. Liegt aber bei

n = 1

. Habe ich nun so begründet, dass da der Term noch nicht negativ wird, da die Funktionswerte sich sonst immer abwechseln(positiv, negativ..) mir fehlt aber hier eine formale begründung.

Für

n

ungerade:

\frac{1}{2 k + 2} \cdot (2 {(- 1)}^{2} k + 1 \cdot (2 k + 1) + 3)

der zweite Teil wird immer kleiner, dh das Infimum muss an dem

n

liegen, für dass das erste Folgenglied negativ wird. Auch hier: Wie kann ich das formal begründen?

bn=1/n+sin(

π \cdot \frac{n}{3})

hier habe ich noch keine idee, das sinus/cosinus verwirrt mich immer so

cn=(-1)^n(1-1^n)
hier könnte man wie bei an vorgehen und in 2 Teilfolgen separieren,

{(- 1)}^{n}

ist entweder

- 1

oder

1,

jenachdem ob

n

gerade oder ungerade ist. Der zweite Teil wird für

n

gegen unendlich immer größer. Die Folge ist eine Amplitude(?), dann liegt das Infimum bei

n = 1

? Supremum bei

n = .

. ?

bei dn=√(n+1)-√n wird die Wurzel immer größer,

d . h

supremum wäre bei n=-1+√2. wenn ich jetzt zeigen kann, dass die folge monoton fällt, allerdings bin ich an dem Beweis gescheitert.

√(n+1)-√n

>

√(n+2)-√(n+1)
komme am ende auf
√(n^2+n)

>

-1+√n^2+3n+2
und komme dann nicht mehr weiter, wahrscheinlich schon am anfang einen fehler beim umformen gemacht, sodass das endergebnis nicht stimmt..
Infimum existiert hier keins?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Bummerang

15:09 Uhr, 23.03.2016

Hallo,

Bitte bearbeite Bild_1

so, dass es lesbar wird (siehe "Wie schreibt man Formeln")!

Auch bei Bild_2

ist

m . E

. nicht klar, was wie zusammenhängt.

Gerade mal

d_{n}

ist halbwegs interpretierbar.

DerFuchs1337 aktiv_icon

09:55 Uhr, 24.03.2016

an= ³√(n²+1)cos(n!)

/ (n + 1)

cn=

\frac{{(- 2)}^{n} + 3^{n}}{{(- 2)}^{n + 1} + 3^{n + 1}}

so ich hoffe jetzt hat es geklappt und dass mir jemand helfen kann :-)

/

edit: die andere cn für das infimum bzw supremum

cn=

{(- 1)}^{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})

ledum aktiv_icon

16:32 Uhr, 24.03.2016

a_{n} = \frac{\sqrt[3]{n^{2} + 1} \cdot cos (n!)}{n + 1}

Z

und

N

durch

n

a_{n} = = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{3}}} \cdot cos (n!)}{1 + \frac{1}{n}}

und das Wissen

- 1 \leq cos (. .) \leq + 1

kannst du es jetzt?

c_{n}

durch

3^{n + 1} \in Z

und

N

dividieren
in

d_{n} \sqrt{a} - \sqrt{b}

mit

\sqrt{a + \sqrt{b}}

erweitern, dann hast du im

Z

einen einfachen ausdruck im Nenner eine summe.
dein nächstes

a_{n}

konvergiert nicht gegen 0 dividiere wieder

Z

und

N

durch

n

. ist

n = 0

ausgenommen?
Meinst du stattsup das inf sonst ist 1 falsch und bei

n = 2

hab ich

\frac{7}{3}

für

n = 1 \frac{1}{2}

wieso ist das das

\supset

?
wenn wie du sagst mit wachsenden ungeraden

n

der Term immer kleiner (größer negativ) wird dann ligt doch das inf für

n

ug gegen

\infty

und du kannst das

\frac{1}{n + 1}

nicht einfach weglassen!

nächstes

c_{n} :

das letzte, das inf ist sicher

< 0

das

\supset

dagegen 1 für gerade

n

gegen

\infty

letzte Folge wieder der Trick wie bei der anderen Wurzeldifferenz.
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

19:28 Uhr, 24.03.2016

c_{n} = \frac{{(- 2)}^{n} + 3^{n}}{{(- 2)}^{n + 1} + 3^{n + 1}}

diesen Bruch kannst du KÜRZEN mit

\to 3^{n}

dann sieht das so aus

\Rightarrow

c_{n} = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{n} + 1}{(- 2) \cdot {(- \frac{2}{3})}^{n} + 3} = \frac{1 + [{(- \frac{2}{3})}^{n}]}{3 + [(- 2) \cdot {(- \frac{2}{3})}^{n}]}

und da du natürlich weisst, was mit

{(- \frac{2}{3})}^{n}

geschieht, wenn

n \to \infty

kannst du jetzt problemlos den gesuchten Grenzwert notieren :

lim_{n \to \infty} c_{n} =

..?..

ok?
.

DerFuchs1337 aktiv_icon

13:59 Uhr, 25.03.2016

Ok, erstmal danke für eure Hilfe :-)
Hier mein aktueller Stand:

Grenzwerte bestimmen

für an : der Nenner konvergiert gegen Null, im Zähler wird die dritte Wurzel aus

n

immer größer,

\frac{1}{n}

konvergiert ebenfalls gegen Null. Bei

cos (n!)

ist mir nicht ganz klar, warum wir da nicht durch

n

teilen ? dann gäbe das ja

cos (1!) = cos (1),

aber das scheint ja nicht richtig zu sein. Leider verstehe ich nicht ganz was du mir sagen willst.

: (

für cn: da ergibt sich dann als Grenzwert

\frac{1}{3},

da im Zähler

{(- \frac{2}{3})}^{n}

gegen Null konvergiert und im Nenner

(- 2) \cdot {(- \frac{2}{3})}^{n}

ebenfalls gegen Null konvergiert.

Bei dn bin ich gescheitert.
Im Zähler:

n \cdot (

(√

(n^{4} + n + 1) -

√

(n^{4} + 1)) \cdot

√

(n^{4} + n + 1) +

√

(n^{4} + 1))

Im Nenner: (√

(n^{4} + n + 1) +

√

(n^{4} + 1))

Da würden sich Zähler und Nenner einfach wieder wegkürzen, dann bin ich wieder am Ausgangspunkt, da habe ich dann wohl was falsch verstanden.

Zu Infimum und Supremum:

Zu an=

\frac{1}{n + 1} \cdot (2 {(- 1)}^{n} n + 3)

Man Betrachte 2 Teilfolgen :
für

n

gerade

a (2 k) = \frac{1}{2 k + 1} \cdot (2 {(- 1)}^{2 k} \cdot 2 k + 3) \Leftrightarrow 4 k + 3

für

n

ungerade

a (2 k + 1) = \frac{1}{2 k + 2} \cdot (2 {(- 1)}^{2 k + 1} \cdot (2 k + 1) + 3) \Leftrightarrow - 2 (2 k + 1) + 3

Der Bruch

\frac{1}{n + 1}

bzw die Brüche in den zwei betrachteten Einzelfolgen konvergieren jeweils gegen Null. dann folgt aus

a (2 k) = 0 \cdot 4 k + 3 = 3,

dann konvergiert an für gerade werte gegen 3 (?)
für ungerade werte folgt aus

a (2 k + 1) = 0 \cdot (- 2 (2 k + 1) + 3)

dass die folge an für ungerade werte gegen - unendlich geht.

Infimum sehe ich nun bei

n = 3,

denn setze die erste ungerade Zahl in

a (2 k + 1)

ein, dann folgt

2 k + 1 \Leftrightarrow 3

. Da für alle

n \geq 3

an>=a3 , muss folgen dass das Infimum an der Stelle

n = 3

mit dem Wert

- \frac{3}{4}

liegt.
Supremum: bei

n = 1

. Begründung: Wähle für an das erste

n,

für das an: ℕ

\Rightarrow X

auf einen positiven Funktionswert abbildet. Da laut unserer Definition 1 das erste Element der Natürlichen Zahlen, und die Folge für

n = 1

trotz der Tatsache, dass es sich um eine ungerade Zahl handelt, auf einen positiven Wert abbildet

\Rightarrow

Hier muss das Supremum liegen.

D . h

dann auch, dass die Teilfolge

a (2 k + 1)

∀

n \geq 3

gilt.

Für die Folge cn=

{(- 1)}^{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})

Betrachte hier ebenfalls 2 Teilfolgen. für

n

gerade:

c (2 k) = {(- 1)}^{2 k} \cdot (1 - \frac{1}{2 k}) \Leftrightarrow (1 - \frac{1}{2 k})

für

n

ungerade:

c (2 k + 1) = {(- 1)}^{2 k + 1} \cdot (1 - \frac{1}{2 k + 1}) \Leftrightarrow - (1 - \frac{1}{2 k + 1})

Infimum: an der Stelle

n = 3

. Begründung : an der Stelle cn mit

n = 3

nimmt cn den ersten negativen Funktionswert an. Die Folge ist eine Amplitude(?), daher "springen" die Werte immer weiter auseinander(pos, neg, pos..) wobei die Abstände immer größer werden. Daher muss das Infimum bei

n = 3

liegen und das Supremum folglich bei

n = 1

.

Würde das als Begründung ausreichen, oder wie kann ich beweisen dass es sich bei der Folge um eine Amplitude(?) handelt?

Warum kann ich bei dn um das Supremum bzw Infimum zu zeigen, nicht beweisen dass die Folge streng monoton fallend ist? denn dann muss das Supremum bei

n = 1

liegen.

und wie kann ich bei der folge bn=

\frac{1}{n} + sin (\frac{π \cdot n}{3})

vorgehen um das Infimum und Supremum zu bestimmen?

Dankeschön und lg :-)

rundblick aktiv_icon

14:28 Uhr, 25.03.2016

.
findest du es geschickt,
zwei verschiedene Folgen mit der gleichen Bezeichnung

c_{n}

anzubieten?

na ja
die erste hat - wie du richtig erkannt hast - den Grenzwert

\frac{1}{3}

abenteuerlich sind deine Überlegungen zur zweiten , also zu

c_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})

schreib dir doch einfach mal die ersten paar Folgenglieder auf
für die Teilfolge mit ungeraden

n \to

c_{1} = (- 1) \cdot (1 - \frac{1}{1}) =

c_{3} = (- 1) \cdot (1 - \frac{1}{3}) =

c_{5} = .

.
was beobachtest du für zunehmende Werte von

n . . (n

ungerade)

mach dann das Gleiche für die Teilfolge mit geradem

n

c_{2} = (1 - \frac{1}{2}) =

c_{4} = (1 - \frac{1}{4}) =

?
usw

also

\to c_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot (1 - \frac{1}{n}) . .

. wird für

n \in N

zwei Häufungspunkte haben
usw
usw.
.

und dazu

\to b_{n} = \frac{1}{n} + s i n (\frac{π}{3} \cdot n)

zwischen welchen drei konkreten Werten pendelt

s i n (\frac{π}{3} \cdot n)

wenn

n

die Natürlichen Zahlen durchläuft?

.. schreibe dir also wieder die Glieder der entsprechenden Teilfolgen auf,
dann siehst du, wohin der Osterhase jeweils läuft..

.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1297763

1297502

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?