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Grenzwerte bestimmen mit Nullfolgen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Nullfolgen

drmabuse aktiv_icon

20:06 Uhr, 13.03.2017

Hallo,
vor einigen Jahren habe ich mich beim Thema Grenzwerte noch recht leicht getan. Aber jetzt habe ich Schwierigkeiten da wieder reinzukommen. Viele Aufgaben ließen sich mit Hilfe von Wertetabellen lösen, doch diese sind diesesmal nicht erlaubt. Ich muss die Grenzwerte mit Hilfe von Nullfolgen bestimmen. Ich habe jetzt ein paar Aufgaben Gerechnet und Würde gern wissen, ob mein LösungsWEG richtig ist. Die Lösungen an sich habe ich ja zur Überprüfung. Den Weg muss ich selbst herausfinden. Jedoch, selbst wenn ich auf die Lösung komme, habe ich keine Gewissheit ob mein Lösungsweg hier bei den Grenzwertthemen richtig ist. Ich hoffe mir kann da jemand sagen ob ich Auf dem richtigen Dampfer bin. Und wenn nicht bitte ich um Korrektur.

Aufgabe 1: Bestimme folgenden Grenzwert.

lim_{n \to \infty} = \frac{2}{n - 1}

lim_{n \to \infty} = \frac{2}{n \cdot (1 - \frac{1}{n})}

lim_{n \to \infty} = \frac{2}{n \cdot 1 - 0}

lim_{n \to \infty} = \frac{2}{n}

lim_{n \to \infty} = 0

Jetzt zu meiner Frage:

\frac{1}{n}

ist ja eine Nullfolge, die den Wert 0 ergibt, wie sieht es mit

\frac{2}{n}

aus

(\frac{3}{n}, \frac{4}{n}, \frac{5}{n}

etc.) ist (sind) das auch Nullfolgen, die den Wert 0 ergeben, oder gilt das nur für

\frac{1}{n}

? Und ist die Aufgabe soweit richtig gerechnet? (Ich darf ja nicht durch probieren mit Hilfe von Wertetabellen diese Aufgabe lösen)

Danke schon mal für die Antworten. Da ich noch weitere Aufgaben habe, die sich um das Thema Grenzwert befassen, schreibe ich die anschließend darunter, bei denen ich mir unsicher bin.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

rundblick aktiv_icon

20:27 Uhr, 13.03.2017

.
ganz allgemein gilt für jede Konstante

\to c \in R :

lim_{n \to \infty} (c \cdot f (n)) = c \cdot lim_{n \to \infty} (f (n))

übernimm das , um deine Frage selbst zu beantworten ( zB eben, wenn

f (n) = \frac{1}{n})

....und dann:

\to lim_{n \to \infty} =

2/(n-1)...ist sinnlos..

...

. dh das kannst du so ^ nicht schreiben

richtig wäre zB

\to lim_{n \to \infty} [\frac{2}{n - 1}] = lim_{n \to \infty} [\frac{\frac{2}{n}}{1 - \frac{1}{n}}] = .

.

(siehst du jetzt deine Nullfolgen ?) usw

. .

.
.

drmabuse aktiv_icon

20:33 Uhr, 13.03.2017

Also habe ich jetzt laut deiner Erklärung hier in diesem Beispiel nur mit

\frac{1}{n}

im Nenner eine Nullfolge. Wenn ich das dann berechne, habe ich ja am Ende immer noch

\frac{2}{n}

am Ende stehen. Was mache ich dann damit?

m23456 aktiv_icon

20:36 Uhr, 13.03.2017

\frac{2}{n}

ist natürlich genauso eine Nullfolge...

2 \cdot \frac{1}{n} \to 2 \cdot 0 = 0

drmabuse aktiv_icon

20:39 Uhr, 13.03.2017

achso ok, dann habe ich die formale Erklärung nicht verstanden. Aber bis auf den einen Fehler, den ich beim Nullfolge Erstellen gemacht habe, scheint ja mein Gedankengang beim Rechnen richtig gewesen zu sein.

rundblick aktiv_icon

20:39 Uhr, 13.03.2017

lim_{n \to \infty} [\frac{\frac{2}{n}}{1 - \frac{1}{n}}] = .

\to

Mann !
.. im Zähler steht die Nullfolge

\frac{2}{n}

.. im Nenner steht die Nullfolge

\frac{1}{n}

lim_{n \to \infty} [\frac{\frac{2}{n}}{1 - \frac{1}{n}}] = \frac{0}{1 - 0} = 0

drmabuse aktiv_icon

20:44 Uhr, 13.03.2017

Ja jetzt ergibt das Sinn!

drmabuse aktiv_icon

10:45 Uhr, 14.03.2017

Hier bin ich noch mal. Ich habe eine weitere Frage. Wie verhält sich das bei unendlich?

Meine Aufgabe ist folgende:

lim

n→∞ = (n²+1)/(n)

lim

n→∞ = (n²/n)+(1/n)/((n/n))

lim

n→∞

= \frac{n + 0}{1}

lim

n→∞

= \frac{n}{1}

ok was mache ich jetzt? Laut Lösung ergibt die Lösung hier unendlich...Wie komme ich drauf? Oder ist

\frac{n}{1}

bereits unendlich? das würde Sinn ergeben aber sicher bin ich mir nicht.

rundblick aktiv_icon

11:33 Uhr, 14.03.2017

.
"

lim

n→∞ = (n²+1)/(n) "

hm.. habe dir doch schonmal gesagt:

\to

deine Schreibweise mit dem " = "

\to lim

n→∞

= . .

.
ist absoluter Schwachsinn ..
warum machst du es schon wieder?

lim_{n \to \infty} [\frac{n^{2} + 1}{n}] \to

existiert nicht - FERTIG !

. . (

auch wenn manchmal dasteht:

= \infty)

merke dir:
wenn die höchste Hochzahl von

n

im Zähler grösser ist als diejenige im Nenner

\to

dann ist es immer so - du bist also gleich fertig..)

.

drmabuse aktiv_icon

12:08 Uhr, 14.03.2017

[

quote]hm.. habe dir doch schonmal gesagt: →→ deine Schreibweise mit dem " = " →lim→lim n→∞

= . . = . .

.
ist absoluter Schwachsinn ..
warum machst du es schon wieder?

[

/quote]

weil das Forum diese Schreibweise nicht übernommen hat. (achso ja das = wollte ich rechts schreiben nicht in der Mitte zwischen drin) ich weiß schon, wie die Schreibweise funktioniert. Mir geht es aber nicht um die Schreibweise, sondern darum vorhandene rechenlücken zu schließen.

[

quote]limn→∞[n2+1n]→limn→∞[n2+1n]→ existiert nicht - FERTIG !

. . (. . (

auch wenn manchmal dasteht: =∞)=∞)

merke dir:
wenn die höchste Hochzahl von

\cap

im Zähler grösser ist als diejenige im Nenner →→
dann ist es immer so - du bist also gleich fertig..)

[

/quote]

also das ist ja schön und gut, aber ich denke, wenn ich das so abliefern würde, würde ich null punkte bekommen. Einfach nur Ergebnis hinschreiben akzeptiert mein Professor nicht. Ich muss also ein paar Zeilen gerechnet haben um dann ein Ergebnis abliefern zu können.

drmabuse aktiv_icon

09:10 Uhr, 17.03.2017

Eine weitere Aufgabe, bei der ich die Lösung/Rechenweg nicht nachvollziehen kann.

Aufgabe 3:

lim

n→∞ (2-n³)/(10n²+n) =

lim

n→∞ (2/n³)-(n³/n³)/((10n²/n²)

+

(n/n²)) =

lim

n→∞ (2-n³)/(10n²+n) =

lim

n→∞

\frac{0 - 1}{10 + (\frac{1}{n})} =

lim

n→∞

- \frac{1}{10} + 0 =

lim

n→∞

- \frac{1}{10}

Laut Lösungsblatt ergibt diese Aufgabe minus unendlich.
Also müsste hier ja dann

- n

übrigbleiben und nicht

- \frac{1}{10}

. oder?
Wo habe ich hier falsch gerechnet?
Ob diese Funktion existiert oder nicht, ist hier nicht die Frage, ich möchte etwas schlüssiges haben, wie man schritt für schritt auf minus unendlich kommt.

(Wie gesagt, Wertetabelle darf ich nicht verwenden)

Respon

09:19 Uhr, 17.03.2017

Schon die zweite Zeile ist nicht richtig. Wenn du im Zähler durch

n^{3}

dividierst, so musst du das auch im Nenner machen. Ansonsten würdest du ja den Bruchterm grundlegend ändern.

drmabuse aktiv_icon

09:28 Uhr, 17.03.2017

Achso, ich bin davon ausgegangen, dass ich jeweils im Zähler und Nenner durch den größten Exponenten teilen muss.

Also neuer Versuch:

limn→∞ (2-n³)/(10n²+n) =
limn→∞ ((2/n³)-(n³/n³))/((10n²/n³)(n/n³))=
limn→∞ (0-1)/((10/n)+n²) =
limn→∞ -1/0+n² = -1/n²

Stimmt irgendwie immer noch nicht....

Respon

09:32 Uhr, 17.03.2017

Jetzt stimmt es ab der dritten Zeile nicht mehr.

drmabuse aktiv_icon

09:36 Uhr, 17.03.2017

Was genau stimmt da nicht? ich komme nicht drauf. bei den nullfolgen war ich mir unsicher, aber was genau ich da verändern soll, keine Ahnung.

Respon

09:42 Uhr, 17.03.2017

Offensichtlich - so wie weiter oben -Begriffs- und Notationsprobleme.

lim_{n \to \infty} (. .

. ) bedeutet, dass du einen Grenzwert bestimmen willst, die Bestimmung aber noch nicht durchgeführt hast. Ist die Bestimmung des Grenzwertes durchgeführt, dann verschwindet die Bezeichnung "

l i m

lim_{n \to \infty} \frac{2 - n^{3}}{10 \cdot n^{2} + n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{10 \cdot n^{2}}{n^{3}} + \frac{n}{n^{3}}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{3}} - 1}{\frac{10}{n} + \frac{1}{n^{2}}}

Und nun überlege, nach welchen Werten der Zähler und der Nenner strebt.

drmabuse aktiv_icon

09:49 Uhr, 17.03.2017

wahrscheinlich gegen minus unendlich, aber ich sehe das immer noch nicht.

ok, rechts unten im Nenner war ein Fehler. Aber wenn ich hier weiterrechne, komme ich auf

\frac{0 - 1}{0 + 0} = - \frac{1}{0}

2/n³,

\frac{10}{n}

und 1/n² sind doch Nullfolgen oder?

Respon

09:53 Uhr, 17.03.2017

Die "0" in der dritten Zeile und die "0" in der 4. Zeile stimmen nicht.
Du versuchst hier offensichtlich, den Grenzwert nur für einen Teil des Terms zu bestimmen. Der Grenzwert bezieht sich aber auf den gesamten Term.

drmabuse aktiv_icon

09:58 Uhr, 17.03.2017

was genau mache ich dann mit 2/n³ und mit

\frac{10}{n},

wenn dort keine Null herauskommt?

Respon

10:04 Uhr, 17.03.2017

Es sind ja Nullfolgen. Aber wenn du den Grenzwert bestimmst, dann ist "l

i

m" weg.
Und

\frac{1}{0}

ist nicht definiert, auch wenn man das manchmal so nachlässig hinschreibt.
Schau viellecht da: de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Bestimmte_Divergenz

drmabuse aktiv_icon

10:14 Uhr, 17.03.2017

ok, dass

\frac{1}{0}

nicht definiert ist, ist klar - man darf ja nicht duch 0 teilen.

kann man denn pauschal sagen, wenn

\frac{1}{0}

am ende herauskommt habe ich +unendlich und wenn am Ende

- \frac{1}{0}

herauskommt -unendlich?

wenn nicht, dann wäre ja die vorgegebene Lösung falsch.

was habe ich wenn am ende

n

bzw.

- n

herauskommt? Bis jetzt dachte ich, dass ich am ende bei

+ n

+unendlich habe und bei

- n

-unendlich. das würde ich ja noch einigermaßen verstehen.

Aber jetzt von

- \frac{1}{0}

auf -unendlich schließen....keine ahnung...wirklich....

Respon

10:26 Uhr, 17.03.2017

Vielleich hilft das.
Der Wert des Nenners geht gegen 0

\frac{1}{0,1} = 10

\frac{1}{0,01} = 100

\frac{1}{0,001} = 1000

\frac{1}{0,000001} = 1000000

\Rightarrow + \infty

\frac{- 1}{0,01} = - 10

\frac{- 1}{0,01} = - 100

\frac{- 1}{0,001} = - 1000

\frac{- 1}{0,000001} = - 1000000

\Rightarrow - \infty

drmabuse aktiv_icon

10:30 Uhr, 17.03.2017

das an sich hilft schon etwas, nur kann ich die Wertetabelle in der Prüfung nicht verwenden. Erlaubt ja mein Prof. nicht.

Mir geht es im Grunde genommen darum, wie ich diese Aufgabe in der Klausur am besten schreibe, damit es formal richtig ist. Deswegen war ja auch meine Frage, ob man das pauschal so sagen kann, dass wenn am ende

\frac{1}{0}

herauskommt ich auch von +unendlich sprechen kann.

Respon

10:36 Uhr, 17.03.2017

Formal geht's so.

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{3}} - 1}{\frac{10}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = - \infty

Ohne "

\frac{1}{0 + 0}

" oder Ähnlichem.
Verbale Begründung: Der Zähler strebt gegen

- 1,

der Nenner strebt gegen

0 \Rightarrow

der Wert des gesamten Bruches strebt gegen

- \infty

. ( divergiert bestimmt gegen

- \infty)

(. .

. und es kommt am Ende nicht

\frac{1}{0}

heraus

. .

. )

drmabuse aktiv_icon

10:38 Uhr, 17.03.2017

Ok, danke, dann sind meine Fragen hiermit vorläufig beantwortet.

ledum aktiv_icon

11:57 Uhr, 17.03.2017

Bitte abhaken
Gruß ledum

drmabuse aktiv_icon

12:08 Uhr, 17.03.2017

Moment noch eine Frage:

Aufgabe 4:

lim

n→∞

(\frac{1}{2})

hoch

n

wie gehe ich an diese Aufgabe heran, ohne Wertetabelle? Wieder mit Nullfolgen?
Meine erste überlegung wäre gewesen n-te Wurzel aus

\frac{1}{2};

nur wie geht es dann weiter?

Respon

12:21 Uhr, 17.03.2017

{(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n}}

. .

. Nenner geht gegen

+ \infty

drmabuse aktiv_icon

14:27 Uhr, 17.03.2017

Danke, aber laut Lösung kommt am ende 0 heraus....
Ist 1/2hoch

n

vielleicht auch eine Nullfolge?

Respon

15:52 Uhr, 17.03.2017

Natürlich, der Nenner

\to \infty \Rightarrow

der Bruch geht gegen 0

drmabuse aktiv_icon

16:37 Uhr, 17.03.2017

gut, danke, dann hab ich das so verstanden.

wenn ich jetzt aber bei einer ähnlichen Aufgabe, also diese hier:

lim

n→∞

{(\frac{1}{2})}^{- n}

genauso rechne wie du es eben getan hast, komme ich auf diesen Rechenweg:

lim

n→∞

(\frac{1^{- n}}{2^{- n}})

lim

n→∞

(\frac{1}{2^{n}}) =

"1/unendlich" ...kommt wieder "0" heraus. Zumindest meine ich das hier so herauszulesen. War ja bei der letzten Aufgabe auch so.

Laut Lösung sollte es aber unendlich sein. 1/unendlich ist aber eine Nullfolge...
wenn ich mit Wertetabelle zur Überprüfung rechne, komme ich auch auf unendlich, nur hier nicht.

bei einer weiteren Aufgabe liege ich wahrscheinlich richtig, da meine Lösung mit der vorgegebenen Lösung übereinstimmt. Kann mir jemand sagen ob ich hier richtig liege?

lim

n→∞

{(- \frac{1}{2})}^{n}

lim

n→∞

(- \frac{1^{n}}{2^{n}})

lim

n→∞

(\frac{1}{2^{n}}) =

"1/unendlich" = "0"

abakus

16:46 Uhr, 17.03.2017

"Verbale Begründung: Der Zähler strebt gegen -1, der Nenner strebt gegen
0→ der Wert des gesamten Bruches
strebt gegen -∞"

Diese Begründung ist in dieser Form wertlos.
Wesentlich für das richtige Vorzeichen ist, dass der Zähler negativ ist UND der Nenner bei seinem Streben gegen Null POSITV bleibt.

drmabuse aktiv_icon

16:54 Uhr, 17.03.2017

"Wesentlich für das richtige Vorzeichen ist, dass der Zähler negativ ist UND der Nenner bei seinem Streben gegen Null POSITV bleibt."

Soweit war ich auch schon mit meinem Gedanken, nur: egal was ich einsetze der Zähler bleibt bei einer Exponentialfunktion doch immer positiv, auch wenn ich eine negative Zahl einsetze

Edit: evtl. fehlt bei der unteren Aufgabe vor der 1 ein minus-vorzeichen

Also:

- \frac{1}{2^{n}} =

"-1/unendlich" = "0"

- \to

bin mir aber auch nicht zu

100

prozent sicher.

ledum aktiv_icon

11:03 Uhr, 18.03.2017

Hallo

{(\frac{1}{2})}^{- n} = 2^{n}

also deine Umformung ist falsch wie fällt bei dir denn da - weg?
Gruß ledum

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