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Grenzwerte für Funktionen x -> xo

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionen für x -> xo, Grenzwert

JuliaM92 aktiv_icon

16:00 Uhr, 19.11.2009

Bei Funktionen mit lim x-> unendlich bzw. minus unendlich ist es klar, wie man den Grenzwert berechnet: Man multipliziert mti dem Kehrwert der höchsten Hochzahl, also z.B. lim x-> unendlich von $\frac{3 x^{2}}{5}$ -> mal $\frac{1}{x²}$ (jeweils oben und unten) -> = $\frac{3}{0}$ -> es existiert kein Grenzwert!, die Folge ist divergent!!

DOCH JETZT: WIE rechnet man den Grenzwert bei Funktionen den lim für x -> xo aus??

(z.B. lim x->2 von $\frac{(x - 2) ²}{x² - 4}$ )

PS: Bitte nicht nur ausrechnen, sondern auch erklären, wie man ALLGEMEIN beim limes von x gegen xo vorgehen muss =)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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hagman aktiv_icon

16:45 Uhr, 19.11.2009

Es geht dir vermutlich nicht um allgemeine Funktionen, sondern um gebriochen-rationale Funktionen,

d . h

. Polynom geteilt durch Polynom, also

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)},

wobei

p

und

q

Polynome sind.

Im einfachsten Fall ist da die Grenzwertbestimmung für

x \to x_{0}

trivial: Einfach

x_{0}

einsetzen und fertig:

f (x_{0}) = \frac{p (x_{0})}{q (x_{0})}

.

Dumm ist nur, wenn in dem Fall der Nenner 0 wird, also

q (x_{0}) = 0

gilt.
Falls gleichzeitig

p (x_{0}) \neq 0

gilt, ist die Sache auch noch einfach, denn das bedeutet, dass

lim_{x \to x_{0}} f (x)

nicht existiert (allenfalls als uneigentlicher Grenzwert

\pm \infty,

aber das sind Feinheiten).

Falls schließlich sowohl

q (x_{0}) = 0

als auch

p (x_{0}) = 0

gilt, kann man den Ausdruck für

f (x)

vereinfachen.
Wenn nämlich

q (x_{0}) = 0

gilt, kann man durch Polynomdivisioneinen Linearfaktor

(x - x_{0})

abspalten und erhält eni neues Polynom

q_{1} (x) = \frac{q (x)}{x - x_{0}}

. Ebenso durch Polynomdivision

p_{1} (x) = \frac{p (x)}{x - x_{0}}

.
Dann gilt allgemein

f (x) = \frac{p_{1} (x)}{q_{1} (x)}

für alle

x

aus dem Definitionsbereich von

f

und wir können die Grenzwertbetrachtung mit diesemneuen Ausdruck noch einmal von vorne beginnen. Wenn du in diesen Ausdruck

x = x_{0}

einsetzt, hast du vielleicht Gück und es tritt einer der entscheidbaren Fälle auf. Falls du dagegen wieder

\frac{0}{0}

erhältst, kannst du erneut per Polynomdivision

(x - x_{0})

abspaltem erhältst

f (x) = \frac{p_{2} (x)}{q_{2} (x)}

mit neuen Polynomen usw.

Filuu aktiv_icon

16:53 Uhr, 19.11.2009

Du schaust einfach, wie sich der Term verhält, wenn du dich

x 0

annäherst. Du darfst zum Beispiel kein 2 einsetzen, denn

\frac{0}{0}

ist nicht definiert. Also testet du

2,1

und

2,01

und so weiter. Von links kommend

(x < x 0)

verwendest du

1,8

und

1,9 . .

.

Außerdem kannst du eine so genannte Grenzüberschreitung machen, dabei formst du den Term so um, dass du den Grenzwert, in deinem Fall

2,

einsetzen kannst.

JuliaM92 aktiv_icon

16:58 Uhr, 19.11.2009

Welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es dann immer, den Term umzuformen??

z.B. mit dem Kehrwert des höchsten Bruches multipilizieren darf man das hier nicht??

hagman aktiv_icon

17:18 Uhr, 19.11.2009

Für endliches

x_{0}

besteht das Repertoire wie gesagt aus dem Ausklammern des entsprechenden Linearfaktors.

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