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Grenzwerte mit Taylor

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

ray11 aktiv_icon

07:53 Uhr, 03.12.2019

Hallo, ich habe leider etwas Probleme Grenzwert mit der Taylor-Entwicklung zu bestimmen. Kann mir jemand zeigen wie das geht?

1)

lim_{x \to 0} \frac{tan (π \cdot x) - sin (π \cdot x)}{x^{3}}

2)

lim_{x \to 0} \frac{x \cdot log (1 + x^{3})}{cos x - \sqrt{1 - x^{2}}}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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pwmeyer aktiv_icon

13:28 Uhr, 03.12.2019

Hallo,

- schlage die Taylor-Entwicklungen für tan und sin nach
- ersetze in dem ersten Bruch

tan (π \cdot x)

und

sin (π \cdot x)

durch die Terme der entsprechenden Taylorentwicklung bis zur Ordnung von

x^{7}

.
- vereinfache und bestimme den Grenzwert.
- überlege, warum man die weiteren Terme der Taylorreihe nicht benötigt.

gruß pwm

HAL9000

14:58 Uhr, 03.12.2019

1) Zur Vermeidung lästiger Schreibarbeit der

π

-Potenzen würde ich vorher

t = π x

substituieren, d.h., es ist

lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x) - \sin (π x)}{x^{3}} = π^{3} lim_{t \to 0} \frac{\tan (t) - \sin (t)}{t^{3}}

.

Alternative ohne Taylorentwicklung: Es ist

\frac{\tan (t) - \sin (t)}{t^{3}} = \frac{\sin (t)}{t} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{t^{2} \cos (t)} = \frac{\sin (t)}{t} \cdot {(\frac{\sin (t / 2)}{t / 2})}^{2} \cdot \frac{1}{2 \cos (t)} \to 1 \cdot 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

für

t \to 0

,

wobei mehrfach das bekannte

lim_{h \to 0} \frac{\sin (h)}{h} = 1

angewandt wurde.

2) Hier befürworte ich die Potenzreihenlösung, wobei die Reihenreste am besten durch passende Landausymbole behandelt werden.

ray11 aktiv_icon

08:18 Uhr, 04.12.2019

Also die Taylorreihe für

tan (t)

wäre

t + \frac{1}{3} t^{3}

und für

sin (t) = t - \frac{1}{6} t^{3}

.

Dann setz ich diese ein:

lim_{t \to 0} π^{3} \frac{t + \frac{1}{3} t^{3} - t + \frac{1}{6} t^{3}}{t^{3}} =

lim_{t \to 0} π^{3} \frac{\frac{1}{3} t^{3} + \frac{1}{6} t^{3}}{t^{3}} =

lim_{t \to 0} π^{3} (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = π^{3} \cdot \frac{1}{2}

richtig so?

Was wären die Taylorreihen für

log (1 + x^{3})

und

\sqrt{1 - x^{2}}

HAL9000

08:52 Uhr, 04.12.2019

Nachschauen!

a) Logarithmusreihe

\ln (1 + t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n} t^{n}

, gültig für

- 1 < t \leq 1

b) Binomische Reihe

{(1 + t)}^{α} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{α}{n}) t^{n}

, gültig für

∣ t ∣ < 1

Dabei ist der Binomialkoeffizient hier in seiner erweiterten Definition

(\binom{α}{n}) := \frac{1}{n!} \prod_{k = 0}^{n - 1} (α - k)

aufzufassen.

Du benötigst nun a) für

t = x^{3}

sowie b) für

t = - x^{2}

und

α = \frac{1}{2}

. Dann setz mal ein!

P.S.: Um hieb- und stichfest zu dokumentieren, dass die gewählte Gliederzahl der Reihen auch wirklich ausreichend für die anstehende Grenzwertbetrachtung ist, sollte man m.E. den Rest in Form von Landau-Symbolen mitführen, bei 1) würde das so aussehen

\frac{\tan (t) - \sin (t)}{t^{3}} = \frac{t + \frac{t^{3}}{3} + O (t^{5}) - (t - \frac{t^{3}}{6} + O (t^{5}))}{t^{3}} = \frac{\frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{3}}{6} + O (t^{5})}{t^{3}} = \frac{1}{2} + O (t^{2})

.

Nur mit jeweils einem Glied der Taylorreihe in Zähler hätte die Rechnung so ausgesehen:

\frac{\tan (t) - \sin (t)}{t^{3}} = \frac{t + O (t^{3}) - (t + O (t^{3}))}{t^{3}} = \frac{O (t^{3})}{t^{3}} = O (1)

,

was unzureichend für die Grenzwertbetrachtung

t \to 0

ist. Um das auch in schwierigeren Fällen als dem hier zuverlässig zu erkennen, ist diese Mitführung der "Landau-Reste" hilfreich.

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