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Grenzwerte mit Taylor

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
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ray11

ray11 aktiv_icon

07:53 Uhr, 03.12.2019

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Hallo, ich habe leider etwas Probleme Grenzwert mit der Taylor-Entwicklung zu bestimmen. Kann mir jemand zeigen wie das geht?

1)
limx0tan(πx)-sin(πx)x3


2)
limx0xlog(1+x3)cosx-1-x2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:28 Uhr, 03.12.2019

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Hallo,

- schlage die Taylor-Entwicklungen für tan und sin nach
- ersetze in dem ersten Bruch tan(πx) und sin(πx) durch die Terme der entsprechenden Taylorentwicklung bis zur Ordnung von x7.
- vereinfache und bestimme den Grenzwert.
- überlege, warum man die weiteren Terme der Taylorreihe nicht benötigt.

gruß pwm
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:58 Uhr, 03.12.2019

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1) Zur Vermeidung lästiger Schreibarbeit der π-Potenzen würde ich vorher t=πx substituieren, d.h., es ist

limx0tan(πx)-sin(πx)x3=π3limt0tan(t)-sin(t)t3 .

Alternative ohne Taylorentwicklung: Es ist

tan(t)-sin(t)t3=sin(t)t1-cos(t)t2cos(t)=sin(t)t(sin(t/2)t/2)212cos(t)11212=12 für t0 ,

wobei mehrfach das bekannte limh0sin(h)h=1 angewandt wurde.


2) Hier befürworte ich die Potenzreihenlösung, wobei die Reihenreste am besten durch passende Landausymbole behandelt werden.

ray11

ray11 aktiv_icon

08:18 Uhr, 04.12.2019

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Also die Taylorreihe für tan(t) wäre t+13t3 und für sin(t)=t-16t3.

Dann setz ich diese ein:

limt0π3t+13t3-t+16t3t3=
limt0π313t3+16t3t3=
limt0π3(13+16)=π312

richtig so?

Was wären die Taylorreihen für log(1+x3) und 1-x2?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:52 Uhr, 04.12.2019

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Nachschauen!

a) Logarithmusreihe ln(1+t)=n=1(-1)n-1ntn , gültig für -1<t1

b) Binomische Reihe (1+t)α=n=0αntn , gültig für t<1

Dabei ist der Binomialkoeffizient hier in seiner erweiterten Definition αn:=1n!k=0n-1(α-k) aufzufassen.


Du benötigst nun a) für t=x3 sowie b) für t=-x2 und α=12. Dann setz mal ein!


P.S.: Um hieb- und stichfest zu dokumentieren, dass die gewählte Gliederzahl der Reihen auch wirklich ausreichend für die anstehende Grenzwertbetrachtung ist, sollte man m.E. den Rest in Form von Landau-Symbolen mitführen, bei 1) würde das so aussehen

tan(t)-sin(t)t3=t+t33+O(t5)-(t-t36+O(t5))t3=t33+t36+O(t5)t3=12+O(t2) .

Nur mit jeweils einem Glied der Taylorreihe in Zähler hätte die Rechnung so ausgesehen:

tan(t)-sin(t)t3=t+O(t3)-(t+O(t3))t3=O(t3)t3=O(1) ,

was unzureichend für die Grenzwertbetrachtung t0 ist. Um das auch in schwierigeren Fällen als dem hier zuverlässig zu erkennen, ist diese Mitführung der "Landau-Reste" hilfreich.

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