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Grenzwerte von Folgen mit Sinus/Cosinus

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

student11 aktiv_icon

16:50 Uhr, 06.02.2012

Hallo zusammen

ich sollte Grenzwerte bestimmen von Folgen wie zum Beispiel:

\frac{sin (x)}{\sqrt{x}},

weiss aber nicht, wie da vorgehen. L'Hospital nützt irgendwie auch nichts, dürfte ich das überhaupt, wenn

sin (x)

undefiniert ist und

\sqrt{x}

gegen unendlich geht?

Jedenfalls wäre es ja dann:

cos (x) \cdot 2 \cdot \sqrt{x},

was mir nichts bringt?

Ich weiss, dass

sin (x) \in [- 1,1],

das bedeutet, dass

- \frac{1}{\sqrt{x}} \leq \frac{sin (x)}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{\sqrt{x}},

was beides gegen 0 konvergiert, also nach Einschlissungskriterium konvergiert auch

\frac{sin (x)}{\sqrt{x}}

gegen 0?

Gibt es andere, hilfreichere (allgemeingültigere) Tipps für mit sinus und cosinus zu arbeiten? Maximaler Definitionsbereich einsetzen und abschätzen?

De L'Hospital (ginge der hier irgendwie??) ?

Andere Tipps?

Vielen Dank.. Wir hatten nämlich nie mit sinus/cosinus gearbeitet in der Vorlesung, doch in den Übungen kommen immer solche Aufgaben..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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CKims aktiv_icon

17:31 Uhr, 06.02.2012

l

hopital darf man hier nicht benutzen... sehe auch nicht wie man das umformen koennte um hopital verbauen zu koennen.

deine versuche mit dem einschliessen sehen doch gut aus... ist auch korrekt. wo liegen deine bedenken?

bei den grenzwerten gibt es keine generellen herangehensweisen. es gibt eine handvoll tricks, die man so gelehrt bekommt. dann fallen den aufgabenstellern auch keine weiteren gemeinheiten ein. diese tricks werden dann beliebig verschleiert und verschachtelt... dann geht es eher darum genuegend erfahrungswerte gesammelt zu haben, um diese aufgaben auch auf die schnelle loesen zu koennen.

lg

student11 aktiv_icon

18:40 Uhr, 06.02.2012

Ok. Vielen Dank..

Ich kenne für Folgen

- Einschliessungskriterium
- "Majoranten-/Minorantenkriterium"
- grösste Potenz ausklammern
- für rekursiv: Fixpunktgleichung lösen..
- Cauchy.. (aber das ist nicht wirklich für die Anwendung gedacht, oder schon?)
- mit Wurzeln immer erweitern mit 3. binomischer Formel.

für Reihen
- Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium
- Majoranten-, Minoranten

Aber ich fühle mich - vor allem mit Reihen - extremst unsicher, wir haben bei Reihen noch nicht einmal viele Reihen, die wir als Vergleichsmöglichkeit haben..
Divergenz der harmonischen Reihe, Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und die typischen Potenzreihen mit Potenzradius,...
Und die Zetafunktion mit Divergenz für alle Potenzen grösser als 1.

Hast du noch Tipps, die ich nicht erwähnt habe?

Beispielsweise bei:

{(1 + \frac{2}{n})}^{4 n^{3}}

Ich komm da nicht drauf, wie ich das schlau lösen sollte..

(wäre die Potenz von

n

unabhängig, könnte ich zuerst das in der Klammer lösen und dann hoch Potenz oder? Da aber von

n

abhängig, kann ich nicht einfach sagen, dass

1 + \frac{2}{n}

gegen 1 konvergiert, und somit der ganze Term gegen

1,

oder? )

oder auch der Grenzwert für

x \to 4

von

\frac{\sqrt{3 x + 4} - 4}{\sqrt{4 x - 7} - 3}

weiss ich nicht wirklich, wie berechnen. Wenn ich erweitere, verlagert sich das Problem nur, nach 2-maligem Anwenden von de L'Hospital hat man immer noch

\frac{0}{0},

die Terme werden so kompliziert, dass selbst der Taschenrechner Mühe hat..

oder auch verschachtelte Grenzwerte wie

lim x \to \infty (lim y \to \infty \frac{x^{2} \cdot y^{2}}{x^{2} \cdot y^{2} + {(x - y)}^{2}})

Wie geht man da vor? Spielt die Reihenfolge eine Rolle, also ist

lim

in dem Sinne kommutativ??

lim x \to \infty lim y \to \infty f (x, y) = lim y \to \infty lim x \to \infty f (x, y)

??

Vielen Dank für deine Hilfe...

hagman aktiv_icon

22:20 Uhr, 06.02.2012

{(1 + \frac{2}{n})}^{4 n^{3}}

sollte dich an

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

erinnern, was

\to e

geht
Demnach ist für große

n

doch

{(1 + \frac{2}{n})}^{4 n^{3}} = {({(1 + \frac{2}{n})}^{\frac{n}{2}})}^{8 n^{2}} \approx e^{8 n^{2}} \to \infty

.
Es geht aber auch direkt mit der Bernoulliungleichung

{(1 + x)}^{k} \geq 1 + k \cdot x

(für

x ≻ 1) :

{(1 + \frac{2}{n})}^{4 n^{3}} > 1 + 8 n^{2},

also

{(1 + \frac{2}{n})}^{4 n^{3}} \to \infty

lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{3 x + 4} - 4}{\sqrt{4 x - 7} - 3}

(ist von der Form "

\frac{0}{0}

" und erlaubt daher l'Hospital - hier mit

\frac{d}{d x} \sqrt{a x + b} = \frac{a}{2 \sqrt{a x + b}})

lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{3 x + 4} - 4}{\sqrt{4 x - 7} - 3} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 4}}}{\frac{4}{2 \sqrt{4 x - 7}}} = \frac{\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 4 + 4}}}{\frac{4}{2 \cdot \sqrt{4 \cdot 4 - 7}}} = \frac{9}{16}

Im allgemeinen darf man limites nicht vertauschen

lim_{x \to \infty} lim_{y \to \infty} \frac{x^{2} \cdot y^{2}}{x^{2} y^{2} + {(x - y)}^{2}}

= lim_{x \to \infty} lim_{y \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + {(\frac{x}{y} - 1)}^{2}}

= lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1

ist hier zufällig gleich dem Wert bei vertauschtem Limes (da ohnehin

f (x, y) = f (y, x)

ist)

In anderen Fällen ist das nicht so:

lim_{x \to 0} lim_{y \to 0} \frac{x - y}{x + y} = lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1

lim_{y \to 0} lim_{x \to 0} \frac{x - y}{x + y} = lim_{y \to 0} \frac{- y}{y} = - 1

student11 aktiv_icon

16:20 Uhr, 08.02.2012

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.. Ich habe das Gefühl, es verstanden zu haben.

Kleine Frage zu einer anderen Aufgabe:

Ist die Reihe der Partialsumme sn=

\frac{n + 1}{n \cdot \sqrt{n} + n + 1}

konvergent??

Ich habe das Gefühl nein, kann es aber nicht nachprüfen, mein Taschenrechner kann Reihenwerte irgendwie nicht bestimmen.
Quotienten- und Wurzelkriterium ergeben

1,

sind also nutzlos.

Ich vermute divergent, deshalb such

e

ich eine Minorante.

\frac{n + 1}{n \cdot \sqrt{n} + n + 1} \geq \frac{n}{n \cdot \sqrt{n} + n + 1} \geq \frac{n}{n \cdot \sqrt{n} + n + n} = \frac{1}{\sqrt{n} + 2} \geq \frac{1}{n + 2}

Ich weiss dass die Reihe der Partialsummen sn

= \frac{1}{\sqrt{n}}

und die harmonische Reihe divergieren, es gelingt mir jedoch nicht, den Summanden 2 "wegzunehmen"..

Ist die Reihe konvergent? Oder wie kann ich eine Minorante finden?

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