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Grenzwerte von Funktionen und zusammengesetzte F.

Schüler

Tags: Grenzwert, Zusammengesetzte Funktionen

Fuenfviertel

21:55 Uhr, 24.10.2012

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder Schwierigkeiten mit ein paar Aufgaben, bzw. große Schwierigkeiten:

1.
Gegeben sind die Funktionen

f : x \to \frac{3}{x - 2}

g : x \to \frac{1}{x^{2} - 9}

h : x \to 2 + \frac{1}{x}

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

b) Wie verhält sich die Funktion für

x \to \infty

und

x \to - \infty

?
Geben Sie die beiden Grenzwerte für

x \to \infty

und

x \to - \infty

und die Gleichung der Asymptote g an, der sich die Funktion annähert.

c)
Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke/n? Geben Sie (falls vorhanden) die Gleichungen der senkrechten Asymptoten an den Polstellen an.

d) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Koordinatensystem

2.
Gegeben sind die Funktionen

f : x \to x^{3} + x^{2} - 4 x - 4

g : x \to x - 2

a) Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen f+g, f-g, f*g und

\frac{f}{g}

an.

b) Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:
(f + g)(0)
(f - g)(1)

(f * g) (\frac{1}{2})

(\frac{f}{g}) (- 1)

c)
Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln

(f+g)', (f - g)', (f * g)' und

(\frac{f}{g}) ʹ

d)
Welche Steigung hat die Tangente

- bei der Summenfunktion f+g an der Stelle

x_{0} = 1

?
- bei der Differenzfunktion f-g an der Stelle

x_{0} = 0

?
- bei der Produktfunktion f*g an der Stelle

x_{0} = - 1

?
- bei der Quotientenfunktion

\frac{f}{g}

an der Stelle

x_{0} = 3

?

Ziemlich viel Stoff...Den ich leider kaum verstehe.

Trotzdem hier mal meine "Denkansätze" :

1a)
f : D =

x \in ℝ

/ {2}
g : D =

x \in ℝ

/ {3}
h : D =

x \in ℝ

1b)
?

1c)
?

1d)
?

2a)
(x³ + x² – 4 x – 4) + (x – 2)=

(x³ + x² – 4 x – 4) – (x – 2)=

(x³ + x² – 4 x – 4) * (x – 2) =

(x³ + x² – 4 x – 4) : (x – 2) =

Wie muss ich hier genau mit den binomischen Formeln rechnen? Leider haperts da noch...
z.B habe ich "aus Verzweiflung" bereits einen Online-Rechner bemüht, mir die erste Aufgabe von 2a auszurechnen:

(x³ + x² – 4 x – 4) + (x – 2)= x³ + x² -3x - 6

Den "2. Teil" der Rechnung verstehe ich. Also: -4x + x = -3x und
-4 + (-2) = 6. Doch warum sind z.B x³ + x = x³ ??

2b ?
2c ?
2d ?

Tut mir leid, für den langen Text, aber habe leider ziemliche Probleme mit dem Thema.

Würde mich freuen, wenn Ihr mir helfen könntet das ganze zu verstehen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Duckx aktiv_icon

01:10 Uhr, 25.10.2012

Du musst dich aber auch darauf gefasst machen, dass man mit einem langen Text antwortet :-)

zu 1a):
DB von f(x):

x \in ℝ, x \neq 2

DB von g(x):

x \in ℝ, x \neq 3, - 3

(da

- 3^{2} = 9

)
DB von h(x):

x \in ℝ, x \neq 0

zu 1b):
Überleg dir mal, wenn im Zähler eine 3 stehen hast und x unendlich groß ist aber 2 subtrahiert werden. Die -2 im Nenner machen gegenüber dem unendlichen x so gut wie nichts aus. Wenn du nun also eine kleine Zahl durch eine unendliche Zahl teilst was passiert dann?
Probiere es mal aus mit 3/100 und dann gehst du im nenner immer höher.
Rechne dann zum Bsp: 3/1000 und 3/1.000.000. Die Zahl wird immer kleiner und wenn der Nenner gegen unendlich strebt strebt die funktion gegen 0.
Bei -unendlich ist es genau das gleiche .

Nun guck mal bei den anderen Funktionen nach was passiert :-)

zu 2a) Wo steht denn das

x^{3} + x = x^{3}

ist? Ich habe das gefühl dass du das mit der Muliplikation verwechselst. Du rechnest nicht jeden Einzelnen Summanden mit den anderen Summanden zusammen. Der Online-Rechner hat dir schon die richtige Lösung gegeben :-)

f-g ist genau das gleiche wie f+g von der rechenweise.

Lass einfach mal deine Klammern weg dann merkst du dass das ganz einfach ist.
Dort kannst du nämlich die "x" mit dem gleichen exponenten zusammenrechnen und die reinen Zahlen.
x³ + x² – 4 x - 4 – x + 2= x³ + x² – 5 x - 2

bei f*g wird es jetzt schon etwas unübersichtlicher aber dennoch ist es machbar :-)

du musst dort alles einzelnd multiplizieren ich mach das mal ausführlicher für dich:

(x³ + x² – 4 x – 4) * (x – 2)=

(x^{3} * x) + (x^{2} * x) - (4 x * x) - (4 * x) - (x^{3} * 2) - (x^{2} * 2) + (4 x * 2) + (4 * 2)

x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x + 8 = x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + 8

zu f:g das ist noch etwas komplizierter. Vielleicht solltest du dir mal polynomdivision anschauen. Als erstes Rechnest du

x^{3} / x

dann hast du schonmal

x^{2}

als Teilergebnis

x^{2} * - 2

ist allerdings

- 2 x^{2}

du brauchst aber

+ x^{2}

folglich hast du

3 x^{2}

differenz
dies musst du wieder durch x teilen und du hast dann

3 x

heraus. §3x \ast -2=-6x

du benötigst aber nur

- 4 x

Differenz beträgt

- 2 x

dies musst du wieder durch x dividieren, ergibt -2 und

- 2 * - 2 = - 4

genau das was wir brauchen.
Also ist das Ergebnis der Division:

x^{2} + 3 x + 2

2b) kannst du nun da du die ergebnisse hast ja auch ganz einfach lösen indem du für x die zahl eingibst und dann erhältst du den Funktionswert

2c) kennst du denn schon die ganzen Ableitungsregeln?
Hier ist es noch relativ einfach, da du hier jetzt keine Brüche oder Verkettungen in der Gleichung hast.

Hier mal die allgemeine Ableitungsregel:

f (x) = x^{n}

f ´ (x) = n * x^{n} - 1

Ein konkretes Beispiel rechne ich dir hier mal vor:

f+g haben wir ja schon ausgerechnet:
(f+g)=x³ + x² -3x - 6

nun ist

(f + g) ´ = 3 x^{3 - 1} + 2 x^{2 - 1} - 3 * 1 * x^{(} 1 - 1

Nochmal übersichtlich aufgeschrieben:

(f + g) ´ = 3 x^{2} + 2 x - 3

Die restlichen Ableitungen müsstest du dann ja jetzt auch schaffen :-)

zu 2d)

Merksatz: Die Steigung der Tangenten eines Graphen an einem bestimmten Punkt ist die 1. Ableitung an diesem Punkt.

Das bedeutet du musst nur die Stelle die angegeben ist für x einsetzen und du hast die STeigung der Tangenten.

Bsp: Die Steigung der tangenten am Graphen (f+g) an der stelle x=1 ist

3 * 1^{2} + 2 * 1 - 3 = 2

Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Bei den Asymptoten und so lass ich lieber jemand anderen ran. Das war nie meine Lieblingssache :-)

mfg Duckx

Fuenfviertel

22:00 Uhr, 25.10.2012

Vielen Dank für deine Antwort!
Hat mir schon einmal ein gutes Stück weitergehofen. :-)

Zu 1b):
Soweit ich das verstanden habe, geht dann bei

f:x
x > 2 =

f (x) \to - \infty

x < 2 =

f (x) \to \infty

g:x
x >

\pm 3

f (x) \to - \infty

x <

\pm 3

f (x) \to \infty

h:x
x > 0 =

f (x) \to \infty

x < 0 =

f (x) \to - \infty

Zu 2a)

Hmm.. Ich glaube hier habe ich leider noch immer ein paar Verständisschwierigkeiten.
" x³ + x² – 4 x - 4 – x + 2= x³ + x² – 5 x - 2 "
In der Aufgabenstellung wurde doch durch "x - 2" subtrahiert?

Aber ich versuchs noch einmal mit der 1.:

(x³ + x² – 4 x – 4) + (x – 2) =

Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, kann man x³ + x und x² + x nicht addieren, da sie nicht die selben Exponenten haben. Aus diesem Grund beschränkt man sich bei dieser Aufgabe eigentlich nur auf "(-4x - 4) + (x - 2)"
-4x + x = -3x
-4 + - 2 = -6

So könnte ich mir nun das Ergebnis der Addtionsaufgabe "x³ + x² -3x - 6" erklären. Ich hoffe ich liege damit wenigstens annähernd richtig o.O
(Ich bleib mal lieber bei der Klammerschreibweise, erscheint mir übersichtlicher)

Zu der 2.

(x ³ + x ² - 4 x - 4) - (x - 2) =

Auch hier gehe ich mal nach meiner Denkweise vor und komme so auf das Ergebnis:
x³ + x² + 5x + 6

Zu der 3.
(x³ + x² – 4 x – 4) * (x – 2) =

Hier hat mir deine Erklärung gut geholfen :-) Vielen Dank.

(x³ * x) + (x² * x) - (4x *x) - (4 *x ) - (x³ * 2) - (x² *2) + (4x * 2) + (4 * 2)

x^{4}

____+__x³__ - __4x²__ -__4x__ -__ 2x³_ - 2x²___ + 8x______ + 8

Das einzige Problem hier habe ich noch, zu verstehen, wie du auf das Ergebnis "

x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + 8

" kommst. Könntest du vielleicht die Klammern noch einfügen? Glaube, dann sollte ich das auch verstanden haben.

Zu der 4.
Ah ja, die Polynomdivision! Aber die habe ich eigenltich ganz gut im griff.
Habe eben nochmal selbstständig gerechnet und das Ergebnis stimmt mit deinem überein.

Zu 2b)
Ist damit etwa nur folgendes gemeint:

+ f(0) = x³ + x² -3x - 6
- f(1) = x³ + x² + 5x + 6
* f(1/2) =

1 / 2 x^{4} - 1 / 2 x ³ - 3 x^{2} + 4 x + 8

: f(-1) = -x² + (-3x) + 2
?

2c)
Die Ableitungsregeln sind mir so einigermaßen bekannt. :-)

Ich rechne mal mit meinen (evtl. falschen) Ergebnissen aus 2a.

f + g ist ja bereits erledigt.
Also
f - g = x³ + x² + 5x + 6
(f - g)' =

3 x^{3 - 1}

2 x^{2 - 1}

+ 5 * 1 * x + 6
(f - g)' = 3x² + 2x + 5x

(f * g) =

x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + 8

(f * g)' =

4 x^{4 - 1}

3 x^{3 - 1}

6 * x * 1^{2 - 1}

+ 8 * 1 * x + 8
(f * g)' = 4x³ + 3x² - 6x + 8x

(f:g) =

x^{2} + 3 x + 2

(f:g)' =

2 x^{2 - 1}

+ 3 * 1 * x + 2
(f:g)' = 2x + 3x

2d)
Das klingt ja doch leichter als ich es mir vorstellte. Da ich aber noch nicht genau weiß, ob meine Ergebnisse aus 2a wirklich so richtig sind, war
te ich lieber erstmal ab, sonst rechne ich wieder mit evtl. falschen Ergebnissen.

Aber vielen dank nochmal für deine Hilfe! Und entschuldigt den abermals langen Text :-P)

Würde mich über weitere Hilfe freuen! Gerade noch in bezug auf die Aufgaben 1c und 1d.

Atlantik aktiv_icon

10:02 Uhr, 26.10.2012

c)

Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke/n? Geben Sie (falls vorhanden) die Gleichungen der senkrechten Asymptoten an den Polstellen an.

f (x) = \frac{3}{x - 2}

Die Polstelle oder senkrechte Asymptote findest du, wenn du den Nenner

= 0

setzt:

x - 2 = 0

x = 2

Im Falle, dass der Zahler auch 0 wird, musst du anders vorgehen.

mfG

Atlantik

Fuenfviertel

20:43 Uhr, 27.10.2012

Danke für deine Antwort!
Ich glaube, das habe ich nun verstanden. :-)

Dann also für

g : x \to \frac{1}{x^{2} - 9}

x² - 9 = 0
x = 3 und

h : x \to 2 + \frac{1}{x}

x = 0

Stimmt das?

Wäre super, wenn sich außerdem nochmal jemand meine Lösungsvorschläge aus meinem vorherigen Post ansehen könnte :-)

Atlantik aktiv_icon

21:08 Uhr, 27.10.2012

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}

Polstellen

x^{2} - 9 = 0 | + 9

x^{2} = 9 | \sqrt{}

x_{1} = + \sqrt{9} = + 3

x_{2} = - \sqrt{9} = - 3

lim_{x \to 00} \frac{1}{x^{2} - 9} = 0

(waagerechte Asymptote bei

y = 0)

h (x) = 2 + \frac{1}{x}

Polstelle

x = 0

Das stimmt.

lim_{x \to 00} (2 + \frac{1}{x}) = 2

(waagerechte Asymptote bei

y = 2)

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

21:08 Uhr, 27.10.2012

Doppelt!

Fuenfviertel

18:03 Uhr, 28.10.2012

Ah okay. Da hatte ich wohl doch noch ein paar Fehler...
Vielen Dank für die Korrektur!

Wie sieht es mit meinen Lösungsvorschlägen (Im Post vom 25.10) zu den restlichen Aufgaben aus? Ich bin mir sicher, da steckt auch noch der ein oder andere Fehler..
O.o

Danke Euch nochmal für die Hilfe!

Fuenfviertel

19:28 Uhr, 01.11.2012

Mag denn niemand einmal über meine Lösungsvorschläge zu Aufgabe 2 (im Post vom 25.10) gucken? :-)

Würd mich freuen, wenn mir da nochmal jemand helfen könnte.

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