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Grenzwerte von mehrdimensionalen Funktionen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

PhysikKatze aktiv_icon

22:21 Uhr, 12.05.2023

Hallo!

Ich habe jetzt generell das Thema Grenzwerte bei Funktionen von mehreren Variablen. Leider verstehe ich im Skript nicht, wie man generell vorgehen sollte, wenn man für eine solche Funktion einen Grenzwert ermitteln soll. Deswegen würde ich es mir gerne an einer ausgewälten Aufgabe mal konkret anschauen, wie man vorgeht:
"Untersuchen Sie, ob

f (x, y)

für

(x, y) \to (0, 0)

konvergiert und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:

f (x, y) = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} - 1}

Vielen Dank für eure Hilfe und liebe Grüße! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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michaL aktiv_icon

22:40 Uhr, 12.05.2023

Hallo,

> Deswegen würde ich es mir gerne an einer ausgewälten Aufgabe mal konkret anschauen, wie man vorgeht:

Leider gibt es keine allgemein gültigen Rezepte, d.h. das Zauberwort ist Erfahrung.
In diesem Fall schreit es ja direkt danach, den Bruch mit

\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} + 1

zu erweitern, um die 3. binomische Formel anzuwenden:

\frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} - 1} = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} + 1} = \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot (\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} + 1)}{x^{2} + y^{2} + 1 - 1} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 1} + 1

Von da ab alleine?

Mfg Michael

PhysikKatze aktiv_icon

08:56 Uhr, 13.05.2023

Vielen Dank!

Ist es nun so, dass ich jeweils

x

und

y

einmal gegen 0 laufen lasse und dann als Grenzwert 2 bekomme? Dürfte man das auch so machen, wenn die Frage wäre, ob die Funktion stetig in (0,0) (vorausgesetzt man bekommt noch einen Funktionswert an dieser Stelle)ist? Da, meine ich, ist es nicht ausreichend zu zeigen, dass f bezüglich x und bezüglich y stetig ist in (0,0). Wie würde ich dann vorgehen? :-)

Liebe Grüße!