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Grenzwertsätze anwendbarkeit

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: divergenz, Folgen, Grenzwert, Konvergenz

HeroSanjA aktiv_icon

08:29 Uhr, 23.08.2018

Ich hätte eine Frage bezüglich der Anwendbarkeit der Grenzwertsätze.

Wenn ich

z . B

. eine Folge in der folgenden Form habe:

c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}

Dann kann ich ja den Grenzwersatz benutzen:

lim_{n \to \infty} c_{n} = \frac{lim_{n \to \infty} a_{n}}{lim_{n \to \infty} b_{n}}

Jetzt habe ich auf der wikibooks Seite gelesen:
Diese Regeln (Grenzwertsätze) gelten nur, wenn alle Teilfolgen, die in den Grenzwertregeln vorkommen, konvergieren.

Würde das heißen das wenn in meiner Folge

c_{n}

zum Beispiel die Folge

a_{n}

divergent ist, dann sind die Grenzwertsätze nicht anwendbar?
Wie bestimme ich dann den Grenzwert einer Folge wenn die Grenzwertsätze nicht anwendbar sind?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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pwmeyer aktiv_icon

08:37 Uhr, 23.08.2018

Hallo,

ja, der Grenzwertsatz über den Quotienten gilt nur wenn

a_{n} \to a

und

b_{n} \to b \neq 0

.

Wenn diese Voraussetzungen nicht erfüllt sind, gibt es kein allgemeines Rezept. Man kann versuchen, geeignet umzuformen - oft hilft es im Bruch, den am schnellsten wachsenden Term zu kürzen.

z . b

\frac{n^{2} + n + 1}{2 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 4} = \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{4}{n^{2}}} \to \frac{1}{2}

Gruß pwm

Respon

08:44 Uhr, 23.08.2018

Oder überlege dir folgendes Beispiel:

a_{n} = n

b_{n} = e^{n}

Beide Folgen divergieren bestimmt

\to + \infty

c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{n}{e^{n}}

Was ist mit dieser Folge ?

HeroSanjA aktiv_icon

08:54 Uhr, 23.08.2018

Okay bei deinem Beispiel

a_{n} = \frac{n}{e^{n}}

könnte ich mir vorstellen das

n \to \infty

und

e^{n} \to \infty

läuft.
ich schätze weil im Zähler und Nenner

\infty

steht würden die sich kürzen und der Grenzwert wäre 1?
Aber habe ich nicht dabei die Grenzwertsätze angewendet indem ich folgendes gerechnet habe?

lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} e^{n}}

HeroSanjA aktiv_icon

08:55 Uhr, 23.08.2018

pwmeyer da hast du recht, aber manchmal hat man den Fall ads man nciht weiter den Term umformen kann.

Respon

08:57 Uhr, 23.08.2018

\infty

ist keine Zahl und daher können wir auch nicht kürzen.
Der Grenzwert wäre hier 0.

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08:58 Uhr, 23.08.2018

Also wenn da steht:

\frac{\infty}{\infty}

dann wäre das 0 ??
Woher weiß man sowas? Gibt es dafür irgendwelche Regeln oder eien Tabelle wo das aufgelistet ist?

Respon

09:00 Uhr, 23.08.2018

\frac{\infty}{\infty}

ist ein "unbestimmter Ausdruck" und könnte alles sein.

HeroSanjA aktiv_icon

09:05 Uhr, 23.08.2018

Nun ja aber wie genau kommt man auf Null? Gibt es dafür irgendeine Rechnung? Oder Schreibt man einfach so hin der Grenzwert wäre Null und gut ist? :-D)
Wenn man ja die Folgenglieder ausrechnen sieht man das ja, ich dachte man kann dafür aber irgend eine Rechnung benutzen um auf die Null zu kommen.

Respon

09:08 Uhr, 23.08.2018

Kennst du die Regel von de l’Hospital ?
de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital

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09:12 Uhr, 23.08.2018

Das ist doch für Grenzwerte einer Funktion und nicht für Folgen ? Ich habe momentan einfach nur das Thema Folgen.
Und Ableitungen bei Folgen darf man doch nicht bilden oder ?

Respon

09:16 Uhr, 23.08.2018

Kann man aber verwenden, da Teilfolge .

Oder verwende

Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent.

usw.

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