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Häufungspunkt von rekursiv definierter Folge besti

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Häufungspunkt, rekursiv definierte Folge

Qwertyy aktiv_icon

15:28 Uhr, 09.02.2019

Hallo,

Ich sitze Grade an einer Aufgabe wo ich die häufungspunkte folgender Folge bestimmen soll:

a_{1} = 0; a_{n + 1} = \sqrt{2 a_{n} + 3} + 2

Ich gehe Mal davon aus, dass die Folge konvergiert und somit den einen HP hat. Ich habe versucht über die Epsilon Definition zu gehen und den Grenzwert zu berechnen, aber da kommt nichts bei raus und ich weiß nicht weiter.
Würde mich über ein bisschen hilfe freuen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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pwmeyer aktiv_icon

16:48 Uhr, 09.02.2019

Hallo,

es sei mal

f (x) := \sqrt{2 \cdot x + 3} + 5

Ich würde zunächst versuchen den potentiellen Grenzwert zu bestimmen. Wenn die Folge

(a_{n})

gegen einen Grenzwert a konvergiert, dann gilt notwendig

a = f (a)

(klar?). Daraus kann man Kandidaten für a

Außerdem ist

f

monoton wachsen. Es ist

a_{2} = \sqrt{3} + 5 \geq a_{1} = 0

. Damit folgt induktiv, dass die Folge

(a_{n})

wachsen ist

...

.

Gruß pwm

Qwertyy aktiv_icon

18:39 Uhr, 09.02.2019

Das verstehe ich nicht so ganz. Die Folge ist doch rekursiv, also

a_{n + 1}

hängt ab von

a_{n}

. Wenn ich das als Funktion betrachte, kann ich für

x

ja was beliebiges großes einsetzen und werde beliebig groß. Die Funktion hätte ja dann keinen Grenzwert, aber die Folge hat einen.

Qwertyy aktiv_icon

18:39 Uhr, 09.02.2019

Das verstehe ich nicht so ganz. Die Folge ist doch rekursiv, also

a_{n + 1}

hängt ab von

a_{n}

. Wenn ich das als Funktion betrachte, kann ich für

x

ja was beliebiges großes einsetzen und werde beliebig groß. Die Funktion hätte ja dann keinen Grenzwert, aber die Folge hat einen.

abakus

18:42 Uhr, 09.02.2019

Für die Folge kannst du aber eben (abgesehen vom ersten Glied) nicht was beliebig großes einsetzen. Du musst das nehmen, was das vorhergehende Glied liefert.

rundblick aktiv_icon

19:25 Uhr, 10.02.2019

.
" also an+1 hängt ab von an."

. .

. JA

und angenommen, die Folge hätte einen Grenzwert

a,

dann würde wohl gelten

\to

a_{n} \to a . .

. und

a_{n + 1} \to a

und das ist salopp gesagt doch das, was pwmeyer dir nahelegt : untersuche

\to a = \sqrt{2 a + 3} + 2

um vielleicht etwas herauszubekommen über einen möglichen Grenzwert

a .

.
usw, usw

. .

.

also ..
.

Qwertyy aktiv_icon

10:02 Uhr, 12.02.2019

Vielen Dank, hab's jetzt geschafft :-)

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