Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Halbwinkel-Formel

Halbwinkel-Formel

Universität / Fachhochschule

Tags: Halbwinkel, Tangens

Sukomaki aktiv_icon

12:41 Uhr, 27.09.2021

Hallo Leutz,

ich bin auf der Suche nach einem Beweis für

\frac{\sin (\frac{π}{5})}{\cos (\frac{π}{5}) + 1} = \frac{6}{5} \sin (\frac{π}{5}) - \frac{2}{5} \sin (\frac{2 π}{5})

Erster Ansatz :

\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} = \frac{6}{5} \sin (x) - \frac{2}{5} \sin (2 x)

nach

x

auflösen

Das gibt fünf Lösungen. Unter anderem

\arctan (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{\frac{1}{2} \sqrt{5} + \frac{1}{2}}) = \frac{π}{5}

Zweiter Ansatz (Halbwinkel-Formel) :

\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} = \tan (\frac{x}{2})

Konkret :

\frac{\sin (\frac{π}{5})}{\cos (\frac{π}{5}) + 1} = \tan (\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{5}) = \cot (\frac{2 π}{5})

Jetzt hätte ich gerne eine Begründung für die letzte Umformung und wie gesagt einen Beweis für

\frac{\sin (\frac{π}{5})}{\cos (\frac{π}{5}) + 1} = \frac{6}{5} \sin (\frac{π}{5}) - \frac{2}{5} \sin (\frac{2 π}{5})

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

13:35 Uhr, 27.09.2021

3 \sin (π / 5) - \sin (2 π / 5) = 3 \sin (π / 5) - 2 \sin (π / 5) \cos (π / 5) = \sin (π / 5) (3 - 2 \cos (π / 5))

, bleibt nur

3 - 2 \cos (π / 5) = \frac{5}{2 (\cos (π / 5) + 1)}

zu zeigen bzw.

- 4 \cos^{2} (π / 5) + 2 \cos (π / 5) + 1 = 0

.
Warum das gilt, steht z.B. hier (ungefähr in der Mitte):
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=1789&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Roman-22

14:06 Uhr, 27.09.2021

Du kommst auch mit der Weiertraß Substitution

t = tan (\frac{π}{10})

zum Ziel.
Sie führt auf auf den zu zeigenden Ausdruck

t = \frac{4 t (5 t^{2} + 1)}{5 {(t^{2} + 1)}^{2}}

.

Entweder du löst diese Gleichung (nach Ausschluss der Null eine einfache biquadratische Gleichung) mit einer der Lösung

t = \sqrt{1 - 2 \frac{\sqrt{5}}{5}} = tan (\frac{π}{10})

oder du setzt diesen bekannten Wert von

tan (\frac{π}{10})

ein und zeigst damit die Gleichheit.

Sukomaki aktiv_icon

15:29 Uhr, 27.09.2021

@DrBoogie
Ist es nicht einfacher,

- 4 x^{2} + 2 x + 1 = 0

, also

x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} = 0

direkt mit der p,q-Formel zu lösen und die Lösungen mit

\cos (\frac{π}{5})

zu vergleichen?

@Roman-22
Drei Fragen :

Darf ich annehmen, dass Du

t = \tan (\frac{π}{10})

meinst?

Wie kommst Du auf

\frac{4 t (5 t^{2} + 1)}{5 (t^{2} + 1)^{2}}

?

Warum ist

\tan (\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{5}) = \cot (\frac{2 π}{5})

?

okay, zumindest das habe ich :

\tan (x) = \cot (\frac{π}{2} - x)

\Rightarrow \tan (\frac{π}{10}) = \cot (\frac{5 π}{10} - \frac{π}{10}) = \cot (\frac{4 π}{10}) = \cot (\frac{2 π}{5})

Roman-22

17:19 Uhr, 27.09.2021

>

Darf ich annehmen, dass Du t=tan(π10) meinst?
Ja, du darfst ;-) Habs in meiner ersten Antwort oben gerade ausgebessert

>Wie kommst Du auf

4 t (5 t 2 + 1) 5 (t 2 + 1) 2

?
Indem du beim Rechtsterm deiner zu zeigenden Gleichung die Weierstraß-Substitution verwendest und zusammenfasst. Für

sin (2 \frac{π}{5})

ist vorher natürlich

2 \cdot sin (\frac{π}{5}) \cdot cos (\frac{π}{5})

zu schreiben. Danach ersetzt du

sin (\frac{π}{5}) = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

und

cos (\frac{π}{5}) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

mit

t = tan (\frac{π}{10})

.
Der Linksterm vereinfacht sich dann einfach zu

t

und der Rechtsterm auf den genannten Ausdruck.
Vermutlich ist aber der von DrBoogie vorgeschlagene Beweisweg einfacher und kürzer.

>

Warum ist tan(12⋅π5)=cot(2π5)?
Hast du selbst schon herausgefunden

Sukomaki aktiv_icon

18:21 Uhr, 27.09.2021

Ich war unachtsam :

Statt

\frac{2 t}{1 + t^{2}}

habe ich

\frac{t}{1 + t^{2}}

verwendet.

Kein Wunder, dass mein Ergebnis falsch war. Und dann habe ich zu früh aufgegeben.

HAL9000

15:34 Uhr, 28.09.2021

> Warum das gilt, steht z.B. hier (ungefähr in der Mitte): www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=1789&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

In diesem Teil kann man auch so argumentieren: Die fünf komplexen fünften Wurzeln von (-1) sind

- 1, \exp (\pm \frac{π}{5} i), \exp (\pm \frac{3 π}{5} i)

,

d.h. wir bekommen bei Zusammenfassung der beiden konjugiert komplexen Linearfaktorpaare die reelle Faktorisierung

z^{5} + 1 = (z + 1) (z^{2} - 2 \cos (\frac{π}{5}) z + 1) (z^{2} - 2 \cos (\frac{3 π}{5}) z + 1)

.

Andererseits bekommt man aber auch algebraisch

z^{5} + 1 = (z + 1) (z^{4} - z^{3} + z^{2} - z + 1)

und weiter dann

z^{4} - z^{3} + z^{2} - z + 1 = {(z^{2} - \frac{z}{2} + 1)}^{2} - \frac{5}{4} z^{2} = {(z^{2} - \frac{z}{2} + 1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{5}}{2} z)}^{2}

= (z^{2} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} z + 1) (z^{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} z + 1)

Die Zuordnung

\cos (\frac{π}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}

erfolgt dann wegen

\cos (\frac{3 π}{5}) < 0

, es fällt dabei noch

\cos (\frac{3 π}{5}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}

als Nebenresultat des anderen quadratischen Faktors ab.

Sukomaki aktiv_icon

21:13 Uhr, 29.09.2021

Danke.

P.S.: Der Bewertungs-Bug ist leider noch nicht behoben. Wenn mehr als eine Person antwortet, dann wird diejenige, die zuletzt in den Thread eingestiegen ist, bei der Bewertung nicht genannt. Ich habe vor einer Weile dem Administrator bzgl. dieser Problematik Bescheid gesagt, aber wie gesagt das ärgerliche Verhalten tritt immer noch auf.

1541960

1541901

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?