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Herleitung des Grenzwertes bei Poisson-Verteilung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Grenzwert, Poisson-Verteilung, Stochastik

anonymous

19:45 Uhr, 23.04.2012

Hallo!

Wir setzen uns gerade im Mathematikunterricht mit dem

\frac{1}{e} -

Gesetz bzw. der Poisson-Verteilung auseinander.

Hat man einen n-stufigen Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrschienlichkeit

p = \frac{1}{n}

und ist

n

sehr groß gewählt, so ist

P (X = 0) \approx P (X = 1) \approx \frac{1}{e} \approx 37 %

und

P (X > 1) \approx 1 - \frac{2}{e} \approx 26 %

.

In meinem Mathebuch wird leider nicht weiter drauf eingegangen, wieso dies so ist. Mein Lehrer wollte mir auf meine Nachfrage leider auch keine Antwort geben, daher versuche ich es hier mal.

Ich habe mir bisher folgendes gedacht:

Generell gilt für eine binominalverteilte Zufallsvariable

X

P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Für

k = 0

ergibt sich demnach

P (X = 0) = {(1 - p)}^{n} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n}

Für

k = 1

gilt

P (X = 1) = n \cdot \frac{1}{n} \cdot {(1 - p)}^{n - 1} = {(1 - \frac{1}{n})}^{n - 1}

Betrachtet man, wie in der Voraussetzung angegeben, sehr große

n,

so gilt

P (X = 0) = P (X = 1)

. Ob ich nun

n

oder

n - 1

habe, man merkt kaum einen Unterschied.

Ich möchte eigentlich nur wissen, wieso der Grenzwert von

{(1 - \frac{1}{n})}^{n}

gegen

\frac{1}{e}

konvergiert.

Das

e

als Grenzwert von

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

defiiert ist, ist bekannt.

Ich hoffe, das mir das jemand verständlich machen kann.

Herzliche Grüße,

Thomas

Edit: Ja, ich habe schon die Suchfunktion benutzt, bin auch auf einiges gestoßen, jedoch war mir das meist zu kompliziert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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