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Homomorphismus - Eigenschaften

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Gruppen

Tags: Beweis, Eigenschaft, Gruppen, Gruppenhomomorphismus, Homomorphismus

student11 aktiv_icon

17:36 Uhr, 20.06.2012

Hallo zusammen

Wollte mal fragen, ob ihr mir weiterhelfen könnt mit folgenden Aussagen bezüglich Homomorphismen:

1) | f^{- 1} (x) | = | f^{- 1} (0) |

für alle

x

im Bild von

f

. Jedes Element im Bild hat gleich viele Urbilder wie das Neutralelement Urbilder hat..

2) f (x^{- 1}) = {(f (x))}^{- 1}

Mithilfe von 2 könnte man dann auch beweisen, dass

f (e_{1}) = e_{2},

denn

f (e_{1}) = f (x \cdot x^{- 1}) = f (x) \cdot f (x^{- 1}) = f (x) \cdot {(f (x))}^{- 1} = e_{2}

Kann mir jemand helfen, Beweise oder intuitive Begründungen für die 2 Sätze zu finden?
Wäre euch wirklich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HP7289 aktiv_icon

18:17 Uhr, 20.06.2012

1 . : f^{- 1} (0)

ist eine Untergruppe. Betrachte mal die Nebenklassen.

Zu

2 . :

Einfach nachrechnen. Also was ist

f (x^{- 1}) \cdot f (x)

? Das Inverse ist eindeutig...

student11 aktiv_icon

18:42 Uhr, 20.06.2012

Ich betrachte

f^{- 1} (0),

das ist eine Untergruppe und zwar der Kern der Abbildung.
Seien

x_{1}, ..., x_{n} \in f^{- 1} (0)

Nun betrachte ich eine Nebenklasse mit

y : {x_{1} + y, x_{2} + y, ..., x_{3} + y}

Wenn ich diese Elemente abbilde, habe ich

f (x_{1} + y) = f (x_{1}) + f (y) = f (y)

f (x_{2} + y) = f (y)

. .

.
Da

0 \in f^{- 1} (0)

gilt, dass

f (y) = f (y + 0)

und somit gib es für jedes

f (y)

genau so viele Urbilder wie die 0 Urbilder hat?

[

naja, über gewisse Dinge stolpere ich noch ein wenig..?]

2)

Ich will zeigen, dass

f (x^{- 1}) = {(f (x))}^{- 1}

ist. Dazu muss ich zeigen, dass

f (x) \cdot f (x^{- 1}) = f (x^{- 1}) \cdot f (x) = 1

ist

f (x) \cdot f (x^{- 1}) = f (x \cdot x^{- 1}) = f (1) = ...

f (x^{- 1}) \cdot f (x) = f (x^{- 1} \cdot x) = f (1) = ...

?

Hier habe ich das Problem, dass ich nicht gezeigt habe, dass

f (1) = 1

(wenn 1 jeweils das Neutralelement ist..), denn das habe ich ja in meinem Beitrag mithilfe von

2)

bewiesen, also wäre das ja zirkulär?

michaL aktiv_icon

18:46 Uhr, 20.06.2012

Hallo,

Homomorphismen sind doch die Struktur-erhaltendenden Abbildungen. Das neutrale Element einer Gruppe gehört doch zur Gruppenstruktur, d.h. neutrales Element wird auf neutrales Element abgebildet.

Kann man auch beweisen (multiplikative Schreibweise):

f (1) = f (1 \cdot 1) = f (1) \cdot f (1)

Von links oder rechts mit dem Inversen von

f (1)

mutliplizieren (was auch immer das sein mag):

1 = f (1)

fertig.

Mfg Michael

student11 aktiv_icon

18:50 Uhr, 20.06.2012

Super.. Mit diesem Beweis habe ich glaube ich jetzt alles zusammen, was ich brauche..

Da

f (1) = 1

gilt, kann ich beweisen, dass

f (x^{- 1}) = {(f (x))}^{- 1}

ist.

wegen den Cosets gilt zudem, dass jedes Element im Bild gleich viele Urbilder hat, insbesondere gleich viele wie das Neutralelement (was ich oben in additiver Schreibweise zu zeigen versucht habe..)

Vielen Dank. :-)

hagman aktiv_icon

18:51 Uhr, 20.06.2012

Dein Beweis zu

1)

ist nah dran, klappt aber - allenfalls - im Fall, dass

| f^{- 1} (0) |

endlich ist.
Am einfachsten zeigst du gleiche Mächtigkeit durch Angabe einer expliziten Bijektion.

f (- 1) (0) \to f^{- 1} (x), a \mapsto c \cdot a

bietet sich an, wobei ein

c \in f^{- 1} (x)

beliebig gewählt wird.
Warum ist das

1)

tatsächlich eine Abbildung

f (- 1) (0) \to f^{- 1} (x)

2)

injektiv?

3)

surjektiv?

student11 aktiv_icon

19:12 Uhr, 20.06.2012

Ich suche eine bijektive Abbildung

g :

g : f^{- 1} (0) \to f^{- 1} (x)

a \to g (a) =

???

Es gilt also

g (a) \in f^{- 1} (x) .

.

Ich müsste zeigen, dass:

injektiv:

g (a) = g (b) \Rightarrow a = b

surjektiv:

\forall y \in f^{- 1} (x) : \exists a : g (a) = b

Ich habe mir dazu ein Beispiel gemacht:

f : Z_{6} \to Z_{3}

a \to R_{3} (a)

0 \to 0

1 \to 1

2 \to 2

3 \to 0

4 \to 1

5 \to 2

f^{- 1} (0) = {0,3}

f^{- 1} (1) = {1,4}

f^{- 1} (2) = {2,5}

ich muss eine Funktion finden von

g_{1} : {0,3} \to {1,4}

wenn

x = 1

oder

g_{2} : {0,3} \to {2,5}

wenn

x = 2

ich betrachte mal

g_{1} .

. Mir fällt auf, dass

a \to a + x

g_{2} : a \to a + x

dies sind bijektive Funktionen, denn

g (a) = g (b) \Rightarrow a + x = b + x \Rightarrow a = b

und für jedes

b

gibt es ein

a,

sodass

f (a) = b,

nämlich

b - x mod 9

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