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Ich will Unendlichkeit verstehen

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Abzählbarkeit, Grenzwert, lim, Überabzählbarkeit, unendlich, Vollständig Induktion

gamma-green aktiv_icon

16:40 Uhr, 03.11.2023

Vorab: In der Vorschau wird mir nur der erste LaTeX-Schnipsel korrekt angezeigt. Wieso der Rest nicht funktioniert, ist mir ein Rätsel. Wenn da jemand einen Tip für mich hätte... Aufgrund dieser Darstellung bin ich mir auch noch nicht sicher, dass ich keine Fehler im Post gemacht habe.

tl;dr: Ich bin mir sehr unsicher im Umgang mit Unendlichkeit, speziell damit, wie ich die "Grenzen" zwischen endlich und abzählbar unendlich bzw abzählbar und überabzählbar unendlich korrekt überschreite.
Lange Version:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ganz allgemein ist mir aufgefallen, dass ich im Umgang mit der Unendlichkeit sehr unsicher bin. Wir hatten jetzt in Analysis III den Einstieg in

σ

-Algebren und sind nun bei Maßen. Schon in der letzten Woche hatte ich Probleme mit dem Begriff der Überabzählbarkeit:
Aufgabe

[1]

war:
Sei

Ω

eine Menge und \(



\subset m a t h s c r P (Ω)

eine

σ

-Algebra über

Ω

. Angenommen



ist unendlich. Man zeige, dass



überabzählbar ist.
Für diese Aufgabe wurden vorab in einer Präsenzaufgabe schon "Atome" definiert, deren Definition ich bei euch einfach mal als bekannt voraussetze.

Eine weitere Aufgabe

[2],

bei der man offenbar nicht mit der vollständigen Induktion weiterkommt, war:
Sei

Ω



\subset



(Ω)

eine

σ

-Algebra über

Ω

.
Man zeige, dass folgende Aussage gilt:
Wenn

A_{n} \in 

für jedes

n \in ℕ,

\cap_{n \in ℕ} A_{n} \in 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Jetzt steht eine neue Aufgabe

[3]

an:
Sei

(Ω, )

ein Messraum. Sei

μ :  \to [0, \infty]

eine Abbildung, die folgende Eigenschaften hat:
(a)

μ (\emptyset) = 0

(b)

für

A_{1}, ..., A_{n} \in 

paarweise disjunkte Mengen gilt \mu(\bigcup_

{

n=1}^NA_n)=\sum_{n=1}^N\mu(A_n)

(c)

für eine Folge

{(A_{n})}_{n}) \in 

gilt

μ (⋃_{n \in ℕ} A_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n})

.
Man zeige, dass

μ

dann schon

σ

-additiv ist.

Jetzt weiß ich, dass folgendes falsch ist:

μ (⋃_{n = 1}^{\infty}

A_n)=\lim_

{

N\to\infty}(\mu(\bigcup_{n=1}^NA_n))=\lim_{N\to\infty}(\sum_{n=1}^N\mu(A_n))=\sum_{n=1}^infty\mu(A_n)

Ich hoffe, dass ich einen Eindruck davon vermitteln konnte, woran ich gerade scheitere und vielleicht findet sich jemand, der "mir den Kopf zurechtrücken" kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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HAL9000

17:34 Uhr, 03.11.2023

Ich kann nicht vervollständigen, was du bei (c) hinten für eine Formel schreiben wolltest - leider ist das entscheidend, denn nur mit (a)(b) ist

μ

noch nicht zwingend

σ

-additiv - Gegenbeispiel:

Ω = ℕ, A = ℘ (Ω)

und darauf Maß

μ (A) = {\begin{array}{ll} 0 & für endliche A \\ \infty & sonst \end{array}

(dass das (b) erfüllt, kannst du dir gern selbst klar machen).

Wählt man dann

A_{n} = {n}

, so gilt

μ (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = μ (ℕ) = \infty

, aber ebenso

\sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n}) = 0

, und damit keine Gleichheit.

EDIT:

> vielleicht findet sich jemand, der "mir den Kopf zurechtrücken" kann?

Gern, aber du bist anscheinend im Wochenende, denn obwohl du dir von Anfang an der Unlesbarkeit eines großen Teils deines Beitrags bewusst warst, hast du nichts zu einer Behebung dieses Zustands getan. Da bleibt das "Zurechtrücken" eben erst mal bei dem obigen Gegenbeispiel stecken.

gamma-green aktiv_icon

09:21 Uhr, 04.11.2023

Hallo Hal!

Vielen vielen Dank für deine Hilfsbereitschaft und dafür, dass du dich durch mein Chaos durchgekämpft hast. Ich nehme das nicht als selbstverständlich hin.

Ich war noch nicht im Wochenende, nur im Feierabend :-)

Vielleicht sollte ich noch explizit darauf hinweisen, dass mein Ziel nicht ist, von dir die Aufgabe an sich gelöst zu bekommen, sondern lediglich diese Geschichte mit den "Grenzen" zu kapieren.

Ich hatte gehofft in deinem Beitrag auf "zitieren" gehen zu können, um zu verstehen, was bei meinem LaTeX-Kram schiefgelaufen ist, aber leider sehe ich die Option nicht. Es scheint an den kalligraphischen Buchstaben zu liegen. Ich versuche gleich, ob ich den ersten Post noch verständlich hinkriege.

Neuer Tag, neues Glück.
(c) für eine Folge

(A_{n})_{n}

in *kalligraphisches*

A

gilt

μ (\cup_{n \in ℕ} A_{n}) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n}) .

EDIT: Leider ist die bearbeiten-Funktion des ersten Posts nicht mehr verfügbar :/

KL700 aktiv_icon

09:29 Uhr, 04.11.2023

Nur so nebenher, was mir dazu in den Sinn kommt:

Wie soll man sich Unendlichkeit vorstellen?
Alle Modelle scheitern letztlich, auch wenn sie die Sache etwas griffiger machen.

Wie soll man sich ein Hotel mit unendlich vieel Zimmern vorstellen oder ein Weltall, das sich
unendlich ausdehnt? In was hinein?
Vlt. schafft es sich bei der Ausdehnung den Raum erst selbst?
Was ist kosmischer Raum, was Zeit?

Alle Beschreibungsversuche scheitern, weil das menschliche Vorstellungsvermögen enge Grenzen hat.
Wer kann sich

10^{80}

Atome vorstellen, aus denen

4 %

der baryonischen Materie bestehen?
Oder die

10^{21}

Atomen in einem Gramm Wasser.

Bekanntlich ist UNENDLICH nicht definiert. Man kann damit nicht rechnen.

Die Frage ist: Welchen Sinn macht es, etwas zu beschreiben versuchen, was nicht vorstellbar ist.
Beschreiben heißt vorstellbar machen.
Hier beißt sich meiner Meinung nach die Katze in den Schwanz, man dreht sich im Kreis.
Man verwendet beim Definieren das Definiendum als Definiens, so mein Eindruck.

Man sollte sich in so etwas nicht hineinsteigern, weil es am Ende doch unbefriedigend ist,
für mich zumindest.
Mögen es andere anders sehen und sich daran erfreuen.
Für mich geht das in Richtung Verstandverhexung, die Frust auslöst.
Einen praktischen Nutzen kann ich zudem nicht erkennen.
Es sind Gedankenspielereien, interessant, aber für mich im Ergebnis unbefriedigend.

Mir fällt dazu ein Zitat ein:
"Wir fühlen, daß selbst, wenn alle möglichen wissenschaftlichen Fragen beantwortet sind, unsere Lebensprobleme noch gar nicht berührt sind. Freilich bleibt dann eben keine Frage mehr; und eben dies ist die Antwort."

Und von den wirklichen Lebensproblemen hat die Menschheit auch heute wieder mehr als genug,
die man nicht aufzählen braucht. Man muss nur die täglichen Nachrichten anhören,
in denen es auch um Unendliches geht: unendliches Leid, unendliche Grausamkeit,
unendliche Gier, unendlichen Egoismus etc.

Verglichen damit ist die mathematische Unendlichkeitsproblematik nahezu unendlich kleines Problemchen.
Zur Lösung der Überlebensprobleme leistet sie keinen Beitrag oder doch?

HAL9000

09:52 Uhr, 04.11.2023

Zu (c) Dieses "für EINE Folge" ist etwas missverständlich, da könnte man meinen, es muss nur eine solche Folge geben. Ich nehme aber an, diese Eigenschaft muss für JEDE solche Folge gelten. Nur in letzterer Interpretation erfüllt mein Gegenbeispiel von oben Bedingung (c) nicht.

gamma-green aktiv_icon

10:01 Uhr, 04.11.2023

erster Post, verbessert:
tl;dr: Ich bin mir sehr unsicher im Umgang mit Unendlichkeit, speziell damit, wie ich "Grenzen" zwischen endlich und abzählbar unendlich sowie zwischen abzählbar und überabzählbar unendlich korrekt überschreite.
Lange Version:
-------------------------

Ganz allgemein ist mir aufgefallen, dass ich im Umgang mit Unendlichkeit sehr unsicher bin. Wir hatten jetzt in Analysis III den Einstieg in

σ

-Algebren und sind nun bei Maßen. Schon in der letzten Woche hatte ich Probleme mit dem Begriff der Überabzählbarkeit bei einer Aufgabe [1]:
Sei

Ω

eine Menge und *kalligraphisches*

A \subset

*kalligraphisches*

P (Ω)

eine

σ

-Algebra. Angenommen *kalligraphisches*

A

ist unendlich. Man zeige, dass *kalligraphisches*

A

überabzählbar ist.
Für diese Aufgabe wurden vorab in einer Präsenzaufgabe schon "Atome" definiert, deren Definition ich bei euch einfach mal als bekannt voraussetze.

Eine weitere Aufgabe [2], bei der man offensichtlich nicht mit vollständiger Induktion weiterkommt (warum?), war:
Sei

Ω

eine Menge und *kalligraphisches*

A \subset

*kalligraphisches*

P (Ω)

eine

σ

-Algebra. Man zeige, dass folgende Aussage gilt:
Wenn

A_{n} \in

*kalligraphisches*

A

für jedes

n \in ℕ

, so

c a p_{n \in ℕ} A_{n} \in

*kalligraphisches*

A

-------------------------
Jetzt steht eine neue Aufgabe [3] an:
Sei

(Ω,

*kalligraphisches*

A)

ein Messraum. Sei

μ :

*kalligraphisches

A \to [0, \infty]

eine Abbildung, die die folgenden Eigenschaften hat:
(a)

μ (\emptyset) = 0

(b) für

A_{1}, . . ., A_{n} \in

*kalligraphisches*

A

paarweise disjunkter Mengen gilt

μ (\cup_{n = 1}^{N} A_{n}) = \sum_{n = 1}^{N} μ (A_{n})

(A_{n})_{n}

in *kalligraphisches*

A

gilt

μ (\cup_{n \in ℕ} A_{n}) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n})

Man zeige, dass

μ

dann schon

σ

-additiv ist.
Jetzt weiß ich, dass folgendes falsch ist:

μ (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = lim_{N \to \infty} (μ (⋃_{n = 1}^{N} A_{n})) = lim_{N \to \infty} (\sum_{n = 1}^{N} μ (A_{n})) = \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n})

Ich hoffe, dass ich einen Eindruck davon vermitteln konnte, woran ich gerade scheitere und vielleicht findet sich jemand, der "mir den Kopf zurechtrücken" kann?

PS: Rekationen auf inzwischen erfolgt Antworten:
KL700: Philosophisch nicht uninteressant, aber leider für mich nicht hilfreich. Soweit mir bekannt, funktioniert das Konzept der Unendlichkeit in der Mathematik ausreichend gut und die Aufgabe, die ich versuche zu lösen, ist mit Sicherheit lösbar.
HAL9000:
Ich gehe stark davon aus, dass mit einer Folge eine beliebige Folge gemeint ist. Wir hatten solche ähnlichen Formulierungen schon öfter. Andersherum wäre die Formulierung "Es existiert"/"Es gibt".
PPS: kann mir jemand sagen, wie ich hier das kalligraphische richtig hinkriege?

HAL9000

10:05 Uhr, 04.11.2023

Die deutsche Sprache kann tückisch sein: Schreibt man

"Es sei

(A_{n})

eine Folge mit Eigenschaft

B

. Dann erfüllt diese Folge auch Eigenschaft

C

."

dann ist unmissverständlich klar, dass Eigenschaft

C

für JEDE Folge

(A_{n})

mit Eigenschaft

B

folgt. Schreibt man aber

"Für eine Folge

(A_{n})

mit Eigenschaft

B

gilt auch Eigenschaft

C

."

dann gibt es die genannte Missverständlichkeit. Aus dem Sinnzusammenhang ist HIER klar, dass "es existiert" eigentlich nicht gemeint sein kann, denn eine solche Folge existiert immer, nämlich

A_{1} = A_{2} = \dots = \emptyset

, das wäre also keine wirkliche extra zu nennende Eigenschaft. Aber das muss in anderen Aufgaben nicht immer so klar sein.

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