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Implikationskette

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Tags: Beweis, Implikation, Kette

anonymous

20:30 Uhr, 02.10.2016

Nehmen wir an wir haben eine Implikation und innerhalb der Implikation gibt es noch Aussagen, die sich gegenseitig implizieren:

Z,B in folgender vereinfachten Form

(

\forall p : \forall q :

T(p,q)

\to

T(q,p))

\to

(

\forall p :

S(p)

\to

T(p,q))

\to \exists p

:T(p,q)

Wie geht man da vor? also zuerst (

\forall p :

S(p)

\to

T(p,q)) und danach T(p,q))

\to \exists p

:T(p,q) beweisen? Ich blick da nicht mehr durch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

21:28 Uhr, 02.10.2016

Ich verstehe Deine Formel nicht:
in

(\forall p : S (p) \to T (p, q))

ist die Variable

q

gar nicht gebunden,
sondern frei, d.h. hier liegt gar keine Aussage vor; daher kann man sie
auch nicht beweisen. Welcher Quantor regiert denn dieses

q

Apilex aktiv_icon

21:29 Uhr, 02.10.2016

Wenn du nur den Ausdruck
"(AA

p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)) \to (\forall p : S (p) \to T (p, q)) \to

EEp:T(p,q)"
Beweisen möchtest dann beweist du nur die letzten Implikation.

\to

Beispiel : allgemeine Implikation

A \to B

mit A und

B

beliebige mathematische Aussagen ( zb. " Äpfel sind grün" oder "x> 5 "oder "x in

ℝ \to x^{2} <

0")
Dann bedeutet

A \to B :

wenn A gilt dann soll auch

B

gelten

\Rightarrow

Beweis von

A \to B :

Annehmen das A richtig wäre und daraus zeigen das

B

dann eintreten muss.

wichtig! : fals A nie wahr ist, ist

A \to B

immer wahr denn :
Bsp.:x in

ℝ \to x^{2} < 0 \to

" Äpfel sind dreieckig"
in Worten . wenn ein Quadrat einer reelen Zahl kleiner als 0 ist dann müssten Äpfel dreieckig sein. Da aber

x^{2} < 0

für

x \in ℝ

nie stimmt müssen Äpfel auch nie dreieckig sein und damit stimmt

A \to B

immer.

"

(\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)) \to (\forall p : S (p) \to T (p, q)) \to \exists p : T (p, q)

"
Deshalb ist die Frage was genau willst du zeigen:

1) A \to B

mit

A := (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)) \to B := (\forall p : S (p) \to T (p, q)) \to \exists p : T (p, q)

oder

2) A \to B

und

B \to C

mit

A := (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)); B := (\forall p : S (p) \to T (p, q)); C := \exists p : T (p, q)

anonymous

21:40 Uhr, 02.10.2016

Denk dir für q in dem Fall eine Zahl, hab ich nur aus Eile vergessen

anonymous

21:41 Uhr, 02.10.2016

Ich weiss was du meinst aber ich weiss selbst die Antwort nicht, ich hab diese Aussage gegeben und muss die jetzt beweisen aber ich weiss nicht in welcher Reihenfolge ich die einzelnen Implikationen beweisen soll

Apilex aktiv_icon

21:51 Uhr, 02.10.2016

standart mäsig gibt dir die Klammerung vor was gemeint ist, falls nichts dazu gesagt wird, ist

2)

in deinem Fall gemeint :

A \to B

und

B \to C

mit

A := (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)); B := (\forall p : S (p) \to T (p, q)); C := \exists p : T (p, q)

Im Beweis von

A \to B

einfach A als wahr annehmen und zeigen das dann

B

gelten muss(analog für

B \to C)

ermanus aktiv_icon

21:51 Uhr, 02.10.2016

Wenn man Apilex' Version 2) nimmt, dann kann man

B \to C

so nicht beweisen, da ja

S (p)

für alle

p

falsch sein kann, aber
eben auch

T (p, q)

für alle

p, q

falsch sein kann, so dass die Existenz eines
solchen p, wie

C

fordert, nicht gewährleistet ist.
Ich habe den Eindruck, Du hast irgendwelche wichtigen Informationen
weggelassen.

anonymous

22:12 Uhr, 02.10.2016

Ok ich hab mal die ganze Aussage genauso wie sie auf meinem Blatt steht, wollte das am Anfang nicht weil ich ja keine Lösung will sondern nur den Lösungsweg und es mir halt nur darum ging, in welcher Reihenfolge man die Implikationen beweist:

(

\exists : S (p)) ⋀ (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p))) \to (\forall p : S (p) \to T (p, 23)) \to \exists p : T (23, p)

Also muss ich zuerst

(\forall p : S (p) \to T (p, 23))

beweisen und dann

T (p, 23)) \to \exists p : T (23, p)

?

Und wie mach ich das dann mit dem ganzen Ausdruck davor (

\exists : S (p)) ⋀ (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)))

ermanus aktiv_icon

22:31 Uhr, 02.10.2016

Also ich würde hier nur folgende Deutung geben können:

[(\exists p : S (p)) \land (\forall p : \forall q : T (p, q) = T (q, p))] \to [(\forall p : S (p) \to T (p, 23)) \to \exists p : T (23, p)] .

Diese Gesamtaussage ist nämlich korrekt.

Apilex aktiv_icon

22:31 Uhr, 02.10.2016

"Also muss ich zuerst

(\forall p : S (p) \to T (p,23))

beweisen und dann

T (p,23)) \to \exists p : T (23, p)

? "
Nein sondern zeigen:

(\exists : S (p)) ⋀ (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)))

\to

(\forall p : S (p) \to T (p,23))

wobei du die ganze Ausage

A := (\exists : S (p)) ⋀ (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)))

als wahr annimmst und zeigst das dann

B := (\forall p : S (p) \to T (p,23))

gelten muss wenn A wahr ist

( zu zeigen: Wenn die Implikation

\exists : S (p)) ⋀ (\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p))

erfüllt ist dann mus auch die Implikation

(\forall p : S (p) \to T (p,23))

gültig sein )

und danach dann zeigen

(\forall p : S (p) \to T (p,23))

\to

\exists p : T (23, p)

(zu zeigen: Wenn Implikation

(\forall p : S (p) \to T (p,23))

wahr ist dann muss

\exists p : T (23, p)

gelten )

( fals die Aussage auch so lautet wie beschrieben)

ermanus aktiv_icon

22:55 Uhr, 02.10.2016

Wenn meine Variante gemeint sein sollte, kann man sie noch so umschreiben,
dass nur noch eine Implikation auftritt und damit Dein "was soll ich zuerstmachen"-
Problem obsolet wird. Man erweitert einfach die primäre Prämissenmenge:

[(\exists p : S (p)) \land (\forall p \forall q : T (p, q) = T (q, p)) \land (\forall p : S (p) \to T (p, 23))] \to \exists p : T (23, p)

anonymous

23:11 Uhr, 02.10.2016

Ja ermanus so wie du es aufgeschrieben hast hab ich es gemeint
Wie machst du aus dem Implikationszeichen aufeinmal eine und-Konjunktion?

ermanus aktiv_icon

23:16 Uhr, 02.10.2016

Nun, Du kannst ganz leicht mit einer Wahrheitstafel feststellen, dass

A \to (B \to C)

den gleichen Wahrheitswerteverlauf wie

(A \land B) \to C

hat.
Also sind die beiden Ausdrücke äquivalent.

anonymous

23:33 Uhr, 02.10.2016

Ok solangsam beginne ich zu begreifen. Wie könnte man denn die Regel nennen die besagt das

\forall p : \forall q : T (p, q) \to T (q, p)

dasselbe ist wie

\forall p : \forall q : T (p, q) = T (q, p)

Also ich begreife ja wieso das dasselbe ist, da beides

\forall

Quantoren sind und es eben in dem Fall keinen Unterschied macht wie rum man die schreibt aber mir fällt einfach nicht ein wie ich das beweisen soll, da man es mit bloßem Auge einfach sieht

ermanus aktiv_icon

23:42 Uhr, 02.10.2016

Du meinst mit "=" den gleichen Wahrheitswert haben, also äquivalent sein, oder?
Du hast vollkommen Recht, dass man hier eigentlich nichts beweisen kann;
denn wenn man die

p

q

nennt und die

q

p

nennt, geht das eine ins andere über.
So ist das nun mal mit symmetrischen Prädikaten.

anonymous

23:53 Uhr, 02.10.2016

Mein vollständiger Beweis ist also

⊓

(das zeichen ist jz mal die und-Konjunktion weil ich die immer noch nicht in der Legende gefunden hab)

\exists : S (p) ⊓ (\forall p : \forall q : T (p, q) = T (q, p)) ⊓ (\forall : S (p) \to T (p, 23)

________________________________________________ (

⊓

-Anwendung)

(\forall p : \forall q : T (p, q) = T (q, p)) ⊓ (\forall : S (p) \to T (p, 23))

________________________________________________ (

⊓

-Anwendung)

\forall p : \forall q : T (p, q)

________________________________________________ (

\forall - A n w e n d u n g)

T (23, q)

_________________________________________________ (

\exists - B e w e i s)

\exists : T (23, q)

das wäre mein vollständiger Beweis mit Regeln, also die begründen wieso ich das eine jz für das andere schreiben darf

ermanus aktiv_icon

00:02 Uhr, 03.10.2016

Hallo MatheConclution,
das ist wohl noch keine korrekte Schlusskette.
Leider muss ich Dich jetzt verlassen wegen Müdigkeit ...
Es kann sein, dass ich morgen gar nicht im Forum tätig bin, da
anderweitig beschäftigt. Wenn der Dienstag für Dich nicht schon zu spät ist,
setzen wir dann den logischen Diskurs fort.
Gruß ermanus

P.S.: das Und-Zeichen heißt in Latex \wedge

anonymous

00:06 Uhr, 03.10.2016

Ja leider ist Dienstag schon "zuspät", aber nur in dem Sinne das ich die Aufgabe dann abgeben muss, allerdings möchte ich ja aus dieser Aufgabe lernen und somit trotzdem gerne auf die richtige Lösung gebracht werden will, ich sitze nämlich schon zwei Tage an der Lösung..

Vielen Dank für die Hilfe bis hierhin und hoffe das mir sobald es eben geht weiter geholfen wird
Gute Nacht bis dahin

(danke für den tipp mit der und-Konjunktion ;-)

ermanus aktiv_icon

11:38 Uhr, 03.10.2016

Hallo,
da bin ich denn auf die Schnelle doch nochmal.
Wie Du schon richtig bemerkt hast, kann man die Und-Verknüpfte Prämisse
in einzelne Teile zerlegen (z.B.

A \land B ⊢ A

). Hier soll

⊢

das Zeichen für einen gültigen Schluss sein.
Ich verwende daher einfach die 3 Konjunktionspartner als einzelne
Prämissen. Wenn ich einen

\exists

-Quantor anwende, führe ich eine
neue Konstante

p_{0}

ein, das ist eine Instanz der Objekte, die ja
laut Quantor existieren soll. Ich nenne diese Schlussregel

\exists

-Instanziierung
und kürze sie mit

\exists

-Inst ab.
Entsprechend nenne ich die Regel, die mir gestattet, bei Vorliegen
eines

\forall

-Quantors ein Individuum einzusetzen,

\forall

-Inst.
Ferner benutze ich den Modus Ponens:

1.

\exists p : S (p)

(Prämisse)
2.

\forall p \forall q : T (p, q) \to T (q, p)

(Prämisse)
3.

\forall p : S (p) \to T (p, 23)

(Prämisse)
4.

S (p_{0})

(1,

\exists

-Inst)
5.

S (p_{0}) \to T (p_{0}, 23)

(3,

\forall

-Inst)
6.

T (p_{0}, 23)

(4,5,Modus Ponens)
7.

T (p_{0}, 23) \to T (23, p_{0})

(2,zweifache

\forall

-Inst)
8.

T (23, p_{0})

(6,7,Modus Ponens)
9.

\exists p : T (23, p)

(

\exists

-Einführung)

Ich denke, so geht es.
Gruß ermanus

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