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Inverse Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Beweis

Thinka

00:07 Uhr, 27.04.2011

Hallo,

ich soll zeigen, dass (a)

B \cdot A = E

und (b)

A^{- 1} = B

und

B^{- 1} = A

gilt, wenn A und

B

jeweils nxn-Matrizen sind und außerdem

A \cdot B = E

gelten soll.

Ich verstehe nicht, wie ich so etwas beweisen soll. Ich meine, es ist doch klar, wenn

A \cdot B = E

gilt, dass auch

B \cdot A = E

gilt. Und das

A^{- 1} = B

sein muss, das folgt ja aus

A \cdot A^{- 1} = E

. Aber das kann ich ja nicht einfach so hinschreiben?!

Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte, wie man das formal aufschreiben kann. Muss das morgen schon abgeben.

: (

Ich finde irgendwie keinen Ansatz für einen Beweis.

Schon einmal vielen lieben Dank.

Liebe Grüße,
Thinka

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Sina86

00:45 Uhr, 27.04.2011

Hi,

hier geht es wohl eher um die Details :-) Wie du ja weißt, gilt im Allgemeinen nicht, dass

A \cdot B = B \cdot A

ist. Warum gilt das also in diesem Sonderfall immer?

Und zu (b): Natürlich gilt

A \cdot A^{- 1} = E

. Aber warum folgt aus der Gleichung

A \cdot B = E

immer, dass

A^{- 1} = B

ist? Hier wird nach der Eindeutigkeit der Inversen gefragt. Denn letztendlich ist die Aussage hier, dass es keine andere Matrix

B \neq A^{- 1}

gibt, für die die Gleichugn

A \cdot B = E

erfüllt ist. Soviel also zu dem Sinn der Aufgabe.

An deiner Stelle würde ich mir erst einmal Gedanken um die (b) machen, denn dann kann man die Aussage für (a) benutzen, was dann ganz einfach ist. Natürlich ist die (b) erst einmal oberflächlich gesehen nicht schwer, denn z.B. ist:

A \cdot B = E \Leftrightarrow A \cdot (B \cdot B^{- 1}) = E {\dot{B}}^{- 1} \Leftrightarrow A \cdot E = E \cdot B^{- 1} \Leftrightarrow A = B^{- 1}

Aber hier nehme ich einfach an, dass die Matrix

B^{- 1}

existiert. Wie du aber sicherlich weißt, hat nicht jede Matrix eine inverse Matrix. Du musst also eine Begründung dafür finden, warum diese inverse Matrix zu

B

existiert.

Lieben Gruß
Sina

michaL aktiv_icon

02:53 Uhr, 27.04.2011

Hallo,

es könnte ja auch sein, dass die Eigenschaften einer Gruppe sehr "sparsam" definiert wurden. Etwa kann man eine Gruppe auch so definieren, dass es ein eindeutiges rechtsneutrales Element

e

geben muss, sodass eben nur

x e = x

für alle

x

, nicht aber auch noch

e x = x

. Dazu passend könnte man "nur" rechtsinverse Elemente forden: für alle

a

gibt es ein eindeutiges

b

mit

a b = e

.

Daraus kann man tatsächlich (mit Assoziativität natürlich) sämtliche Gruppeneigenschaften herleiten. Ist das bei euch so gewesen (oder anders herum)? Sollt ihr vielleicht jetzt genau das beweisen, dass jedes Rechtsinverse auch linksinvers ist?

Vielleicht postest du mal die Aufgabenstellung?

Mfg Michael

Thinka

11:43 Uhr, 27.04.2011

Hmm, nun bin ich noch verwirrter. :-D)

In der Aufgabenstellung steht nicht viel mehr drin, bzw eigentlich nichts mehr, als ich geschrieben habe.

"Inverse Matrix
Es seien A und

B

jeweils nxn-Matrizen. Außerdem soll A*B=En gelten.

(a)

Zeigen Sie, dass dann auch B*A=En gilt.

(b)

Zeien Sie, dass

A^{- 1} = B

und

B^{- 1} = A

ist."

Das ist die Aufgabenstellung.

Aber ich meine, wenn doch schon

A \cdot B = E

gegeben ist, ist es halt doch logisch, dass

(a)

gelten muss und man kann das doch annehmen, das ist das, was mich einfach verwirrt...

Sina86

11:50 Uhr, 27.04.2011

Nun, wie michaL auch schon gesagt hat, es kommt darauf an, was ihr in der VL gemacht habt. Bleiben wir zunächst bei Aufgabe (b). Wann ist eine Matrix invertierbar?

Thinka

11:52 Uhr, 27.04.2011

Wenn die Determinante ungleich Null ist und es eine inverse Matrix

A^{- 1}

gibt, sodass gilt

A \cdot A^{- 1} = E

(Einheitsmatrix).

Sina86

11:55 Uhr, 27.04.2011

Nun, fast. Eine inverse Matrix existiert genau dann, wenn die Determinante ungleich Null ist. Warum folgt aus

A \cdot B = E

z.B. dass die Determinante von B ungleich Null ist?

Thinka

11:58 Uhr, 27.04.2011

Weil

B

die inverse Matrix von A ist und somit ungleich Null sein muss, weil sonst nicht die Einheitsmatrix rauskommen könnte?!

Sina86

12:28 Uhr, 27.04.2011

Das ist eben das Problem bei der Sache. Die Gleichung

A \cdot B = E

sagt dir nicht, dass

B

die zu

A

inverse Matrix ist. Dazu müsstest du wissen, dass inverse Matrizen eindeutig sind. Das willst du aber gerade hier zeigen und kannst du deswegen nicht als Argument benutzen.

Es gibt einige Sätze, die sich mit Determinatnen und Matrix-Multiplikation auseinandersetzen. Schau mal in deine Aufzeichnungen. Ihr habt mit Sicherheit etwas gemacht wie "Matrixmultiplikationssatz/-eigenschaft" oder so...

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