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Inverse einer Matrix durch Neumann-Reihe

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

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19:16 Uhr, 14.11.2020

Hallo,
Ich soll das Inverse der Matrix

A = I - B = (\begin{array}{rcl} 1 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & 1 \end{array})

durch die Neumann-Reihe einer geeigneten Matrix

B

bestimmen. Matrixnorm ist beliebig.

Wegen (I-B) weiß ich, dass

B = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 / 3 \\ 1 / 3 & 0 \end{array})

sein muss (sorry irgendwie möchte das Programm hier keine vernünftigen Matrizen produzieren...)

∥ B ∥_{\infty} = \frac{1}{3} < 1

, d.h. die Neumannreihe von B konvergiert.

Außerdem weiß ich:

A^{- 1} = (I - B)^{- 1} = : C

mit

C = l i m_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m} B^{k}

Nun weiß ich nicht weiter... ich habe zur Kontrolle schon mal das Inverse von A mit den alten Methoden berechnet, aber wie das mit der Neumann-Reihe geht weiß ich leider nicht...

Danke für jede Hilfe!

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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