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Inzidenzgeometrie Beweis
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Beweis, Geometrie, parallel
 
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Hallo, ich brauche Hilfe bei der Aufgabe: Es sei eine Inzidenzstruktur, die die Axiome (1), und — die Axiome einer Inzidenzgeometrie — erfüllt.(P ist Menge, deren Elemente Punkte heißen, ist Menge, deren Elemente Geraden heißen, I ist Relation zwischen und Begründe, dass die Menge mindestens drei Elemente haben muss. (ii) Begründe, dass in einer Inzidenzgeometrie, in der das Parallelenaxiom erfüllt ist, die Menge mindestens vier Elemente haben muss. (iii) Zeige, dass, wenn zusätzlich das Parallelenaxiom erfüllt, die Relation II (’ist parallel zu’) eine Äquivalenzrelation ist. Das sind die Axiome: Inzidenzaxiome: Jede Gerade inzidiert mit mindestens zwei Punkten. Je zwei Punkte inzidieren mit genau einer Geraden. Es gibt drei nicht-kollineare Punkte. Parallelenaxiom: Zu jedem Punkt und jeder Geraden existiert genau eine Gerade mit ist Element von und II . Meine Idee zu iii: Wir zeigen, dass II II aber nicht parallel zu zu einem Widerspruch führt. Wegen nicht parallel zu gibts einen Punkt der sowohl mit als auch mit inzidiert. Damit gibts zu und zwei zu parallele Geraden, die mit inzidieren, nämlich und . Aber damit ist das Parallelenaxiom verletzt. und ii sehe ich, aber ich schaffe es nicht, den Beweis zu schreiben. Wie funktioniert dieser? DANKE! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, nach dem Reichhaltigkeitsaxiom (3) gibt es drei nicht kollineare Punkte , und . Insbesondere sind die drei Geraden . Zeige, dass diese paarweise verschieden sind (Die Annahme, zwei davon identisch wären, würde der Wahl der Punkte als nicht kollinear widersprechen!). Zu (ii): Sei die Parallele zu durch und diejenige zu durch . Überlege, warum nicht gelten kann! Damit haben die Geraden und einen gemeinsamen Punkt . Überlege, warum nicht gelten kann. (iii) ist korrekt. (Das ist aber nur die Transitivität. Reflexivität und Symmetrie sind zwar trivial, müssten aber wenigstens kurz angesprochen werden.) Mfg Michael |
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Mein Versuch zu ii: -seien nicht kollineare Punkte (nach -es gilt: (QR), (PR), (PQ) -diese Geraden sind nicht parallel, da sie gemeinsame Punkte aufweisen -auch die Parallelen p´, q´ und r´ dazu sind nicht parallel (die Parallelität in einer affinen Ebene ist eine Äquivalenzrelation) -setze nun P´:= q´geschnitten r´ usw. -wir sehen, dass alle Geraden verschieden sind: ist ungleich p´, da mit p´ inzidiert, aber nicht mit -p´ ist ungleich da p´ parallel zu ist, was wiederum nicht parallel zu ist -P´ist ungleich weil P´mit q´und r´ inzidiert, aber P´nicht mit und inzidiert vereinigt enthalten aber alle Punkte |
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Mein Versuch zu ii: -seien nicht kollineare Punkte (nach -es gilt: (QR), (PR), (PQ) -diese Geraden sind nicht parallel, da sie gemeinsame Punkte aufweisen -auch die Parallelen p´, q´ und r´ dazu sind nicht parallel (die Parallelität in einer affinen Ebene ist eine Äquivalenzrelation) -setze nun P´:= q´geschnitten r´ usw. -wir sehen, dass alle Geraden verschieden sind: ist ungleich p´, da mit p´ inzidiert, aber nicht mit -p´ ist ungleich da p´ parallel zu ist, was wiederum nicht parallel zu ist -P´ist ungleich weil P´mit q´und r´ inzidiert, aber P´nicht mit und inzidiert vereinigt enthalten aber alle Punkte |
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Mein Versuch zu -seien Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen (nach -nach sind die 3 Geraden (PQ), (PR) und (QR) paarweise verschieden Sind meine Ideen gut so? |
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