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Ist C((a,b)) vollständig?
Universität / Fachhochschule
Grenzwerte
Tags: Grenzwert
 
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anonymous 11:14 Uhr, 21.04.2021  |
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Sei ⊂ ein kompaktes Intervall. Zeigen Sie, dass der Vektorraum aller stetigen Funktionen → versehen mit der Supremumsnorm ||f||=Sup|f(x)| ∈ vollständig ist. Sei ⊂ ein offenes Intervall. Ist dann auch vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort. Mein Problem ist mit Frage 2 Meine Antwort lautet dazu nein, denn nehme wenn eine Cauchy folge jetzt gegen null konvergieren möchte , wird das nicht funktionieren, da der grenzpunkt 0 außerhalb liegt. Wäre das so richtig? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion | |
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"Meine Antwort lautet dazu nein, denn nehme z.b:C(0,1), wenn eine Cauchy folge jetzt gegen null konvergieren möchte , wird das nicht funktionieren, da der grenzpunkt 0 außerhalb liegt. Wäre das so richtig?" Überhaupt nicht. Eine Cauchy-Folge in ist eine Folge der Funktionen, nicht eine Folge der Zahlen. Und eine Folge aus Funktionen kann grundsätzlich nicht gegen eine Zahl konvergieren, da vermischst du Objekte, die miteinander nichts zu tun haben. |
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anonymous 11:24 Uhr, 21.04.2021 |
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Danke für die antwort, was wäre dann, wenn die cauchy folge gegen eine nullfolge konvergiert, würde das dann passen? Also wäre das ein gegenbeispiel das nicht vollständig ist? |
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Hallo, die Frage ist etwas merkwürdig; denn auf ist die Supremums-Norm überhaupt nicht definiert. Beispiel Da die Norm nicht definiert ist, stellt sich auch die Frage nach der Vollständigkeit nicht. Gruß pwm |
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"Danke für die antwort, was wäre dann, wenn die cauchy folge gegen eine nullfolge konvergiert, würde das dann passen?" Überhaupt nicht, denn die Nullfolge ist keine Funktion, das ist eine Folge! Du vermischst da wieder Dinge. Und eine Nullfunktion würde auch nicht helfen, denn sie liegt in . |
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anonymous 11:35 Uhr, 21.04.2021 |
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Ich verstehe nicht, warum die supremumsnorm nicht auf C(0,1) definiert ist, also ich verstehe das beispiel nicht... |
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anonymous 11:36 Uhr, 21.04.2021 |
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Tut mir leid, ich bin jetzt recht überfordert, was wäre dann ein passendes beispiel? |
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"Ich verstehe nicht, warum die supremumsnorm nicht auf C(0,1) definiert ist, also ich verstehe das beispiel nicht..." Du verstehst nicht, dass Supremum von auf unendlich ist? Betrachte die Punkte für |
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anonymous 11:42 Uhr, 21.04.2021 |
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Doch, ich habe es jetzt verstanden, also wäre die antwort, dass die supremumsnorm nicht auf C((a,b)) definiert ist, also kann es nicht vollständig sein? |
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Die Frage ist nicht korrekt gestellt, es ist keine Aussage über Vollständigkeit möglich. |
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anonymous 11:54 Uhr, 21.04.2021 |
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Was wäre, wenn man dann nur den Raum C((a,b)) betrachtet? Würde die Frage dann mehr sinn machen? |
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Wir betrachten doch genau den Raum . |
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anonymous 12:18 Uhr, 21.04.2021 |
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War aber nicht das Problem, dass die Supremumsnorm nicht auf definiert war? |
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Ja, auf ist Supremum-Norm nicht auf allen Funktionen definiert. Daher ist diese Menge kein normierter und deswegen kein metrischer Raum, so dass der Begriff Vollständigkeit auf dieser Menge nicht geprüft werden kann, denn vollständig oder nicht vollständig können nur metrische Räume sein. |
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anonymous 12:38 Uhr, 21.04.2021 |
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Ach sooo, jetzt verstehe ich es, vielen Dank! |
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