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Kardinalität von Mengen / Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Kardinalität, mengen, symmetrische Differenz

nilpferd3 aktiv_icon

19:15 Uhr, 19.11.2014

Hi Ihr,
Ich hab ein Problem mit einer Übungsaufgabe:
Zu endlichen Mengen A und

B

sei die symmetrische Differenz

A Δ B

erklärt durch

(A \ B) ⋃ (B \ A)

.
Beweisen Sie:
#(A

Δ B) =

+

#B - 2#(A

⋂ B)

Wäre dankbar, wenn mir hier jemand helfen könnte.

(Das Einzige was ich hierzu weiss: Die Gleichmächtigkeit von Mengen zeigt man mit einer Bijektion.
Aber der Vergleich findet hier ja nicht mit einer Menge statt sondern mit einer Summe der Kardinalität verschiedener Mengen. Und da fehlt mir die Idee, was ich hier machen soll.)

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

19:21 Uhr, 19.11.2014

Zuerst mal haben

A \ B

und

B \ A

offensichtlich keine gemeinsame Elemente.
Deshalb ist

∣ A Δ B ∣ = ∣ A \ B ∣ + ∣ B \ A ∣

(ich nutze

∣ \cdot ∣

für die Mächtigkeit).
Weiter ist

A = (A \ B) \cup (A \cap B)

und

B = (B \ A) \cup (A \cap B)

und beide Vereinigungen sind disjunkt, also haben keine gemeinsame Elemente, was wiederum leicht zu sehen ist.
Daraus folgt

∣ A ∣ = ∣ A \ B ∣ + ∣ A \cap B ∣

und

∣ B ∣ = ∣ B \ A ∣ + ∣ A \cap B ∣

.
Damit hast Du alles, was Du brauchst, es bleibt nur ein kleiner Schritt.

nilpferd3 aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.11.2014

Jetzt ist es klar:

A \ B = A

und

B \ A = B

. damit ist es gelöst. vielen Dank!

nilpferd3 aktiv_icon

19:33 Uhr, 19.11.2014

Oder moment. Ich sollte doch moch mal drüber nachdenken.

DrBoogie aktiv_icon

19:41 Uhr, 19.11.2014

Ja,

A \ B = A

gilt nur in besonderen Fällen und nicht allgemein. Aber das brauchst Du auch nicht. Du musst nur die Gleichungen, die ich schon geschrieben habe, zusammennehmen und das richtige Ergebnis daraus ableiten.

nilpferd3 aktiv_icon

19:45 Uhr, 19.11.2014

ja klar. ich war vorschnell.

| A | - | A ⋂ B | = | A \ B |

| B | - | A ⋂ B | = | B \ A |

also:

| A \ B | + | B \ A | = | A | - | A ⋂ B | + | B | - | A ⋂ B |

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