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Kein Beweis für Multiplikation in Z?

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Beweis, Ganze Zahlen, Multiplikation, Relationen, Wohldefiniertheit

HateRecursion aktiv_icon

22:45 Uhr, 05.11.2026

Ich möchte kurz etwas ansprechen. In der AGLA 1 Einheit haben wir heute ganzen Zahlen als Relationen auf N×N definiert (durch Äquivalenzklassen). Und dabei mussten wir nicht nur das einfach einführen, sondern auch beweisen. Das bedeutet - auch die Wohldefiniertbarkeit der Addition sowie Multiplikation. Das für die Addition wurde in der Einheit vorgestellt. Aber der Beweis für die Wohldefiniertbarkeit der Multiplikation wurde nicht vorgestellt. Der Professor meinte, dass wäre eine sehr gute Rechenübung für uns und wir sollen das selber Zuhause versuchen, weil das sehr ähnlich zur Addition funktioniert. Jetzt kommt es - der Beweis für die Wohldefiniertbarkeit der Addition findet man im Internet. Dasselbe aber für Multiplikation - nicht. Ich habe schon 3 Stunden oder so damit verbracht, alle Seiten durchzuschnuppern, um den Beweis zu finden. Und alles was gibt's, sind etweder Halunazionen von AI (die sagt an einer Stelle, dass

a \cdot b = c \cdot b

sich völlig auf so was wie

1 = 1

kürzen lässt
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren
Multiplikation und Division von Brüchen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Randolph Esser aktiv_icon

00:31 Uhr, 06.11.2026

Hallo HateRecursion,

Entspreche jedes

z \in ℤ

also der Menge

{(a, b) \in ℕ^{2} : z = a - b},

bzw. seien die ganzen Zahlen also definiert als die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation

(a, b) ~ (c, d) : \Leftrightarrow a + d = c + b

auf

ℕ^{2}

.

Zunächst definieren wir überhaupt mal eine Multiplikation
auf den Elementen von

ℕ^{2},

die im Kontext Sinn machen könnte:
Gilt

z_{1} = a - b, z_{2} = c - d

für

z_{1}, z_{2} \in ℤ, a, b, c, d \in ℕ,

so folgt jedenfalls

z_{1} \cdot z_{2} = (a - b) \cdot (c - d) = a \cdot c + b \cdot d - (a \cdot d + b \cdot c)

mit

a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c \in ℕ

.

Wir setzen also hoffnungsvoll

(a, b) \cdot (c, d) := (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c)

für

(a, b), (c, d) \in ℕ^{2}

.

Für die Wohldefiniertheit müssen wir nun noch zeigen, dass aus

(a, b) ~ (a', b'), (c, d) ~ (c', d')

für

(a, b), (c, d), (a', b'), (c', d') \in ℕ^{2}

auch

((a, b) \cdot (c, d)) ~ ((a', b') \cdot (c', d')),

also

(a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) ~ (a' \cdot c' + b' \cdot d', a' \cdot d' + b' \cdot c')

folgt.

Das kann man schlicht hinrechnen:

(a, b) ~ (a', b'), (c, d) ~ (c', d')

\Leftrightarrow

a + b' = a' + b, c + d' = c' + d

\Leftrightarrow

a - b = a' - b', c - d = c' - d'

\Rightarrow

(a - b) \cdot (c - d) = (a' - b') \cdot (c' - d')

\Leftrightarrow

a \cdot c + b \cdot d - (a \cdot d + b \cdot c) = a' \cdot c' + b' \cdot d' - (a' \cdot d' + b' \cdot c')

\Leftrightarrow

(a \cdot c + b \cdot d) + (a' \cdot d' + b' \cdot c') = (a \cdot d + b \cdot c) + (a' \cdot c' + b' \cdot d')

\Leftrightarrow

(a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) ~ (a' \cdot c' + b' \cdot d', a' \cdot d' + b' \cdot c')

.

Fertig !

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