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Keine Aussage über Reihe durch Quotientenkriterium

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Funktionen

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Funktionentheorie

Grenzwerte

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Grenzwert, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung

matze195 aktiv_icon

23:13 Uhr, 25.05.2018

guten Abend,

ich hoffe, dass mir jemand bei folgender Aufgabe helfen kann, die ich nicht richtig verstehe.

Aufgabe:

Betrachten Sie die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n + {(- 1)}^{n}}}

(a)

Kann man mittels des Quotientenkriteriums eine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe machen?

(b)

Berechnen Sie den Grenzwert obiger Reihe.

Bei der

a)

weiß ich nicht, ob das Quotintenkriterium eine Aussage über das Konvergenzverhalten machen kann..

Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:

lim_{n \to \infty}

superior

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = (\frac{\frac{1}{3^{(n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}}}}{\frac{1}{3^{n + {(- 1)}^{n}}}}) = \frac{1}{3^{(n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}}} \cdot \frac{3^{n + {(- 1)}^{n}}}{1} = \frac{3^{n + {(- 1)}^{n}}}{3^{(n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}}}

= \frac{3^{n} + 3^{{(- 1)}^{n}}}{3^{n} \cdot 3^{1} \cdot 3^{{(- 1)}^{n + 1}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{n}}}{3^{{(- 1)}^{n + 1}}}

Fallunterscheidung:

Fall

1 :

__{_}__{_}__{}

Für

n = 2 k

(gerade Zahlen)

\Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{n}}}{3^{{(- 1)}^{n + 1}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{2 k}}}{3^{{(- 1)}^{(2 k + 1)}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{2 k}}}{3^{{(- 1)}^{(2 k + 1)}}} = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3

Fall

2 :

__{_}__{_}__{}

Für

n = 2 k - 1

(gerade Zahlen)

\Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{n}}}{3^{{(- 1)}^{n + 1}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{2 k - 1}}}{3^{{(- 1)}^{(2 k - 1) + 1}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{2 k - 1}}}{3^{{(- 1)}^{(2 k)}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}

Das heißt, dass

lim_{n \to \infty} {(a_{2 k})}_{k \geq 0} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{2 k}}}{3^{{(- 1)}^{(2 k + 1)}}} = 3

und

lim_{n \to \infty} {(a_{2 k})}_{k \geq 0} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3^{{(- 1)}^{2 k - 1}}}{3^{{(- 1)}^{(2 k - 1) + 1}}} = \frac{1}{27}

Der Limes superior ist somit 3. Da

3 > 1

ist, ist die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n + {(- 1)}^{n}}}

(laut dem Quotientenkriterium) ja divergent.

Wenn das aber so ist, warum muss ich dann bei der

b)

den Grenzwert dieser Reihe berechnen?

Hat das Quotientenkriterium also doch keine Aussagekraft über das Konvergenzverhalten dieser Reihe? Und warum nicht? Was genau habe ich falsch gemacht oder welche Logikfehler habe ich übersehen?

: \frac{-}{}

Weiter unten habe ich als Bild die Definition des Quotientenkriteriums hochgeladen, die wir im Skript stehen haben.

zur

b)

Wie kann man den Grenzwert dieser Reihe bestimmen? Ich es durch den Majorantenkriterium versucht, aber keine passende Majorante gefunden...

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

mit freundl. Grüßen
Euer Matze

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

23:49 Uhr, 25.05.2018

Tipp:
Schreib dir mal die ersten vier, oder sechs, oder acht, oder zehn, oder... Summanden ausführlich auf Papier!

matze195 aktiv_icon

09:15 Uhr, 26.05.2018

Hallo!

Welche Summanden meinen Sie ? Die von der ursprünglichen Reihe oder die der Teilfolgen ?

Wenn ich die ersten Summanden der ursprünglichen Reihe ausrechne, erhalte ich

\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{243} + \frac{1}{81}

usw...

Aber ich erkenne leider immer noch nicht, warum das Quotientenkriterium an dieser Stelle versagt

\frac{:}{}

DrBoogie aktiv_icon

09:48 Uhr, 26.05.2018

"Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:"

Die vorletzte Zeile war OK, am Ende hast Du irgendeinen Quatsch gemacht.
Du sollst es in der Form

\frac{3^{n} + (- 1)^{n}}{3^{n + 1} + (- 1)^{n + 1}}

lassen.
Bei geraden

n

hast Du dann

\frac{3^{n} + 1}{3^{n + 1} - 1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 1 / 3^{n}}{1 - 1 / 3^{n + 1}}

und bei ungeraden

n

hast Du analog

\frac{1}{3} \frac{1 - 1 / 3^{n}}{1 + 1 / 3^{n + 1}}

.
Beide Folgen konvergieren gegen

1 / 3

, was ist dann automatisch

limsup

der Originalfolge.

matze195 aktiv_icon

16:12 Uhr, 26.05.2018

Hi!

Danke für deine Hilfe! Aber ich verstehe nicht, wie du auf deine Terme kommst, denn

(n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}

und

n + {(- 1)}^{n}

sind ja Hochzahlen und nicht Summanden der 3. Kann es sein, dass du es vllt falsch abgelesen hast?

Liebe grüße
Matze

DrBoogie aktiv_icon

16:17 Uhr, 26.05.2018

Ja, ich habe es falsch abgelesen, aber Du bist dabei auch nicht unschuldig, denn warum schreibst Du dann in der Mitte

3^{n} + 3^{(- 1)^{n}}

? Ist es Dir nicht bekannt, dass es nicht dasselbe ist wie

3^{n + (- 1)^{n}}

?

Am Vorgehen ändert sich nichts, Du betrachtest getrennt gerad und ungerade Zahlen, hast dann zwei Folgen, welche beide konvergieren, und nimmst für

limsup

den größten Greznwert.

DrBoogie aktiv_icon

16:23 Uhr, 26.05.2018

"Der Limes superior ist somit 3. Da 3>1 ist, ist die Reihe ∑n=0∞13n+(−1)n (laut dem Quotientenkriterium) ja divergent."

Quotientenkriterium in dieser Form (mit

limsup

) ist kein notwendiges Kriterium, nur hinreichendes.
Dir Reihe ist in Wirklichkeit konvergent, was zeigt, dass in diesem Fall das Quotientenkriterium nicht funktioniert.

"Wie kann man den Grenzwert dieser Reihe bestimmen?"

Getrennt Summanden mit geraden und ungeraden

n

summieren (beide Fälle sind einfache geometrische Reihen), dann Summe von beiden Ergebnissen berechnen.

matze195 aktiv_icon

16:35 Uhr, 26.05.2018

Du hast Recht. Ich habe mich vertippt, denn im nächsten Schritt habe ich es zu

\frac{1}{3}

gekürzt.
Aber dann ist meine Rechnung danach mit den Teilfolgen doch auch richtig, oder nicht?

Ich für die beiden Teilfolgen ja folgendes:

lim_{n \to \infty} {(a_{2 k})}_{k \geq 0} = \frac{1}{27}

lim_{n \to \infty} {(a_{2 k - 1})}_{k \geq 0} = 3

Wobei der limes superior

= 3

und der limes inferior

= \frac{1}{27}

Das Quotientenkriterium besagt, dass wenn

lim

inferior

\leq 1

und

lim

superior

\geq 1

gilt, dass dann keine Konvergenzaussage möglich ist.

Und das ist hier ja der Fall. Es gilt ja

\frac{1}{27} \leq 1 \leq 3

Trotz meiner Rechnung komme ich auf eine plausible Lösung...Ist mein Weg überhaupt richtig?

liebe grüße
matze

DrBoogie aktiv_icon

17:40 Uhr, 26.05.2018

Richtig, bis auf die Aussage oben, dass die Reihe nicht konvergiert.

limsup

hast Du richtig bestimmt. Danach muss man halt sagen, dass das Quotientenkriterium nichts bringt. Und dann die Summe der Reihe berechnen, wie ich vorgeschlagen habe.

matze195 aktiv_icon

19:23 Uhr, 26.05.2018

Also ich habe es nun so wie du es vorgeschlagen hast.

Ich die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n + {(- 1)}^{n}}}

in ungeraden und geraden zahlen auf:

Dann erhalte ich für gerade

n

folgende Reihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + {(- 1)}^{2 k}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{27} + \frac{1}{243} . .

= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

Und für ungerade diese Reihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1 + {(- 1)}^{2 k + 1}}} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{81} + \frac{1}{729} ...

= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{k}}

Wenn ich wieder die getrennten Summanden wieder zusammenzähle, habe ich dann

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{k}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{9^{k}} + \frac{1}{3^{2 k + 1}}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{9^{k} + 3^{2 k + 1}}{9^{k} \cdot (3^{2 k + 1})}

Ist das so ungefähr richtig?

Wie genau könnte man nun den Grenzwert dieser Reihe bestimmen? Mit dem Majorantenkriterium ?
Wobei wir aber in der Vorlesung keine konvergente Majorante hatten, die größer ist, als die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{9^{k} + 3^{2 k + 1}}{9^{k} \cdot (3^{2 k + 1})}

.

freue mich auf dein Feedback.
lg
matze

DrBoogie aktiv_icon

19:33 Uhr, 26.05.2018

"Ist das so ungefähr richtig?"

Nein. Es ist sinnlos, die Reihen wieder zusammenzuführen.
Du musst zwei Reihen GETRENNT voneinander summieren.

"Wie genau könnte man nun den Grenzwert dieser Reihe bestimmen? Mit dem Majorantenkriterium ?"

Man kann einen Grenzwert einer Reihe NIE mit einem Majorantenkriterium bestimmen.
Ich habe gesaht: das sind beide GEOMETRISCHE Reihen. Dafür gibt's direkte Formeln.

matze195 aktiv_icon

20:15 Uhr, 26.05.2018

Hmm, dann hatte ich ein Denkfehler. Aber die zwei Reihen, die ich aufgestellt bezüglich gerade und ungerade

n

sind korrekt, oder ?

Naja, die allgemeine geometrische Reihe ist

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{0} \cdot q^{k} = \frac{a_{0}}{1 - q}

Nun muss ich also beide Reihen, die ich aufgestellt habe auf diese Form bringen ?

Falls ja, dann

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{0} \cdot q^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{0} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2 k + 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} 1 \cdot {(\frac{1}{3})}^{2 k + 1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} = 1,5

?

Sonst weiß ich echt nicht, wie ich den Grenzwert berechnen soll durch die geometrsiche reihe...

mfg
Matze

DrBoogie aktiv_icon

20:31 Uhr, 26.05.2018

Was soll denn

\sum_{n} (\frac{1}{3})^{2 k + 1}

überhaupt bedeuten? :-O
Du summierst über

n

, was gar nicht vorkommt.
Bitte ein Bisschen mehr Konzentration.

matze195 aktiv_icon

20:42 Uhr, 26.05.2018

Ich komme wirklich nicht drauf. .. Du sagst, dass die getrennten Summanden geometrische Reihen sind.

Das heißt, dass

z . B \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

eine geometrische Reihe ist. Aber ich kann diese Reihe nicht in einer geometrischen Reihe umformen und die Formel verwenden. Meine Umformung war ja falsch..

Wie soll das sonst funktionieren? Also

z . B

. für

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

?

Tut mir leid, dass ich vielleicht nerve, aber ich habe große Schwierigkeiten damit.

Lg
matze

matze195 aktiv_icon

20:42 Uhr, 26.05.2018

Ich komme wirklich nicht drauf. .. Du sagst, dass die getrennten Summanden geometrische Reihen sind.

Das heißt, dass

z . B \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

eine geometrische Reihe ist. Aber ich kann diese Reihe nicht in einer geometrischen Reihe umformen und die Formel verwenden. Meine Umformung war ja falsch..

Wie soll das sonst funktionieren? Also

z . B

. für

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

?

Tut mir leid, dass ich vielleicht nerve, aber ich habe große Schwierigkeiten damit.

Lg
matze

matze195 aktiv_icon

20:42 Uhr, 26.05.2018

Ich komme wirklich nicht drauf. .. Du sagst, dass die getrennten Summanden geometrische Reihen sind.

Das heißt, dass

z . B \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

eine geometrische Reihe ist. Aber ich kann diese Reihe nicht in einer geometrischen Reihe umformen und die Formel verwenden. Meine Umformung war ja falsch..

Wie soll das sonst funktionieren? Also

z . B

. für

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}}

?

Tut mir leid, dass ich vielleicht nerve, aber ich habe große Schwierigkeiten damit.

Lg
matze

DrBoogie aktiv_icon

20:47 Uhr, 26.05.2018

Hast Du immer noch nicht kapiert, dass man nicht über

n

summieren kann, welches gar nicht vorkommt?

Richtig ist

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}} = \frac{1}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k}} = \frac{1}{3} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{k}} = \frac{1}{3} \frac{1}{1 - 1 / 9} = \frac{3}{8}

matze195 aktiv_icon

21:03 Uhr, 26.05.2018

Diese Umformung habe ich ja die ganze Zeit versucht, aber ich hatte keinen Ansatz.

Und der Limes der zweiten Reihe ist folgender:

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{k}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{8}

Wenn also

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}} = \frac{3}{8}

und

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{k}} = \frac{9}{8}

ist, dann kann man ihre Grenzwerte doch addieren und man erhält

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}} + lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{9^{k}} = \frac{3}{8} + \frac{9}{8} = \frac{3}{2} = 1,5

.

darf ich die beiden Grenzwerte addieren?

Mfg
Matze

DrBoogie aktiv_icon

21:06 Uhr, 26.05.2018

Ja, darfst Du, weil beide Reihen absolut konvergieren (sie haben einfach nur positive Summanden).

matze195 aktiv_icon

21:10 Uhr, 26.05.2018

Okay, das heißt, dass der Grenzwert der Reihe

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n + {(- 1)}^{n}}} = 1,5

ist. Damit ist die Aufgabe dann endgültig gelöst, oder ? Falls ja, dann will ich mich an dieser bei Ihnen sehr bedanken. Ich hatte sehr große Schwierigkeiten damit.

Freue mich auf eure Rückmledung
Lg
Matze

DrBoogie aktiv_icon

21:24 Uhr, 26.05.2018

Du schreibst wieder Sinnloses. Es ist entweder

\sum_{n = 0}^{\infty} . . .

oder

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} . . .

, aber keinesfalls

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{\infty} . . .

.

Wenn ich pingelig erscheine: glaub mir, dafür bekommt man bei der Klausur so richtig Abzüge.

Ansonsten ist es gelöst, nur brauchst Du definitiv noch Einiges über das Thema zu lesen, Dein Wissensstand ist ungenügend.

matze195 aktiv_icon

21:32 Uhr, 26.05.2018

Achso, die Lösung ist also

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{2 k + 1}} = 1,5

oder

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 0}^{n} \frac{1}{3^{2 k + 1}} = 1,5

?

Den Limes gilt ja nur für Summen mit

n . .

.
Ja, ich muss definitiv mehr über dieses Thema lesen. Habe selber gemerkt, dass mein Wissen für die Aufgabe nicht gereicht hat...

anonymous

00:49 Uhr, 27.05.2018

"Wenn ich die ersten Summanden der ursprünglichen Reihe ausrechne, erhalte ich

\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac{1}{243} + \frac{1}{81}

usw..."

Und wenn du jetzt nur ein klein wenig umsortierst, dann erhältst du:

\frac{1}{3^{0}} + \frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{3^{5}} + . .

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