Kern und Bild von Projektionen

Seien ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ Projektionen, ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ein K-Vektorraum. Sei PQ=QP. Zeige:

a)PQ ist eine Projektion mit: $$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cap \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) \\ \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>})} \end{gathered}$$

b)R=P+Q-PQ ist eine Projektion mit: $$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right) \\ \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cap \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)} \end{gathered}$$.

Danke für deine Hilfe. Ich habe die Aufgabe jetzt fertig. Deine Tipps sind wirklich Spitze :)