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Kettenlinie Zugkraft und Winkel

Universität / Fachhochschule

Tags: Kettengewicht, Kettenlinie, Wassertiefe, Winkel, Zugkraft

Dia4020 aktiv_icon

11:09 Uhr, 29.07.2012

Wenn ein Schiff vor Anker liegt, müssen die Ankerkette und der Anker die Kräfte aufnehmen. Bei wenig Wind ergibt das eine am Boden liegende Kette und anschließend einen Anstieg in Kettenbogenform. Am oberen Ende (Bug des Bootes) wirken die Windkraft horizontal und das Gewicht der bogenförmigen(freien) Kette vertikal. Damit ergibt sich ein Winkel α zur Horizontalen.

Meine Frage ist: Wie kann man aus Windkraft (zB:

250 N),

Wassertiefe (zB:

5 m),

Kettenlänge (zB:

30 m)

und Kettenmasse (normalerweise

1,4

kg/m bei einer 8 mm Kette) ausrechnen, wieviel Kette am Boden verbleibt; welcher Winkel α sich einstellt (und damit welche Zugkraft an der Kette wirkt)

Erste Überlegungen:

α = arc tan (Kettengewicht / Windkraft)

. .

. aus der Geometrie am oberen Punkt der Kette

y = C cosh (\frac{x}{C}) . .

. wobei

y = H

und

X = W; C . .

. unbekannte Konstante, die aber bei jedem Kettenbogen, der sich einstellt, unterschiedlich ist

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

13:03 Uhr, 29.07.2012

Wikipedia liefert mehrere Formeln für die Kraft am Kettenende in Kettenrichtung, darunter besonders schön

F = μ \cdot g \cdot (h + a)

mit mu=Kettenmasse pro Längeneinheit, g=Erdbeschleunigung (den Auftrieb von Eisen in Wasser wollen wir vernachlässigen), h=Durchgang = hier Wassertiefe, a=Krümmungsradius (am Scheitel=Aufliegepunkt).
Leider ist

a

ziemlich unbekannt.
Die Kette selbst wird (mit Kettenscheitel als Ursprung) zu gegebenem

a

beschrieben durch

y (x) = a \cdot cosh (\frac{x}{a})

.
An der zur Wasseroberfläche gehörigen x-Koordinate

x = w

ist

y (w) = h

Die horizontale Kraftkomponente ergibt sich durch Multiplikation mit dem Cosinus

cos α

des Steigungswinkels

α,

wobei wir den Tangens kennen:

tan α = y' (x)

.
Demnach ist

cos (α) = \frac{1}{\sqrt{y' {(x)}^{2} + 1}}

und schließlich

F_{x} = \frac{μ g (h + a)}{\sqrt{y' {(w)}^{2} + 1}}

.
Nun ist

y' (x) = sinh (\frac{x}{a}) = \sqrt{{cosh (\frac{x}{a})}^{2} - 1},

also der Nenner

\sqrt{y' {(w)}^{2} + 1} = cosh (\frac{w}{a}) = \frac{h}{a}

und schließlich

F_{x} = \frac{μ g a (h + a)}{h}

Wenn man das mit der Windkraft gleichsetzt, ergibt sich eine quadratische Gleichung in

a

.
Wenn man erst einmal

a

hat, ergeben sich alle anderen Größen so gut wie von selbst.
Beispielsweise der Winkel

α

aus

cos (α) = \frac{a}{h}

.
Zumindest gilt das, wenn ich mich oben nirgends verrechnet habe. Ich bin selbst erstaunt, dass allein hieraus

a \leq h

folgt, also

F_{x} \leq 2 μ g h

. Stimmt das mit maritimer Erfahrung überein, dass in flachem Wasser ein Anker bei stärkerem Wind nicht mehr hält, während dieselbe Situation in tieferem Wasser stabil bleibt?

Dia4020 aktiv_icon

12:16 Uhr, 30.07.2012

Hallo Hagman!
Danke für die schnelle Antwort!

Wie kommst du am Ende deiner Ausführungen darauf, dass
cos(α)=a/h ist?

Das kann nicht stimmen, dass a kleiner

h

sein muss.
Stell dir ein straff gespanntes Seil vor: Da ist der Durchhang

h

minimal und der Biegeradius am unteren Scheitel sicher größer!

LG Michael

hagman aktiv_icon

12:48 Uhr, 30.07.2012

Fehler gefunden:

y (x) = a cosh (\frac{x}{a})

liefert

y (0) = a

statt

y (0) = 0

.
Verschiebt man entsprechend auf die Nulllinie (Meeresboden), sollte man also

y (x) = a \cdot cosh (\frac{x}{a}) - a

ansetzen.
Dann gehte es aber nach demselben Verfahren weiter:

y (w) = h,

daraus

cosh (\frac{w}{a}) = \frac{h + a}{a},

tan (α) = y' (w) = sinh (\frac{w}{a}),

\frac{1}{cos (α)} = \sqrt{y' {(w)}^{2} + 1} = cosh (\frac{w}{a}) = \frac{h + a}{a},

F_{x} = \frac{μ g (h + a)}{\sqrt{y' {(w)}^{2} + 1}} = μ g a,

also ganz ganz einfach

a = \frac{F_{x}}{μ g}

Daraus

α

per

cos (α) = \frac{a}{h + a},

was automatisch

\leq 1

ist.

Dia4020 aktiv_icon

15:52 Uhr, 30.07.2012

Besten Dank - jetzt ist alles klar!

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