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Kettenwurzel

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Didgeridoo aktiv_icon

23:03 Uhr, 24.10.2010

Ich muss zeigen, dass die Kettenwurzel:

\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + . .}}}

.
beschränkt ist und den Grenzwert berechnen.

a_{n + 1} = \sqrt{1 + a_{n}}

für grosse

n

kann man ja annehmen, dass

a_{n + 1} = a_{n}

sei. Wie kann ich zeigen dass es ein

K

gibt mit

| a_{n} | \leq K

? Und

v . a

. wie kann ich dann den Grenzwert berechnen?
Vielen Dank für eure Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Kosekans aktiv_icon

23:13 Uhr, 24.10.2010

Für die Berechnung des Grenzwertes gibt es einen Trick: Sei

x

der Grenzwert. Dann ist

\sqrt{1 + x} = x

. Ausrechnen, fertig ;-)

Didgeridoo aktiv_icon

23:19 Uhr, 24.10.2010

Was bringt mir das?

Kosekans aktiv_icon

23:26 Uhr, 24.10.2010

Du fragtest doch "Und

v . a

. wie kann ich dann den Grenzwert berechnen?"

Didgeridoo aktiv_icon

23:30 Uhr, 24.10.2010

Ja, schon, aber wenn

\sqrt{1 + x} = x

sei, dann ist ja der ganze Grenzwert

x,

aber ich weiss ja gar nicht, was dieses

x

ist? Sorry, bin momentan etwas müde und daher vielleicht schwer von Begriff!

michaL aktiv_icon

23:31 Uhr, 24.10.2010

Hallo,

die Folge ist monoton steigend und beschränkt.

Das kann man ahnen, wenn man sich mit einer Tabellenkalkulation mal 20 Werte ausgeben lässt.
Das kann man auch beweisen (aus Ahnung Sicherheit machen). In diesem Fall mit vollständiger Induktion.
Du weißt nicht, wie das geht? Deine Folge war in diesem Forum vor längerer Zeit schon mal dran, da hab ich grad keine Lust, alles noch mal zu schreiben.

Mfg MIchael

Alx123 aktiv_icon

23:34 Uhr, 24.10.2010

Wenn die Folge einen Grenzwert

g

besitzt, dann gilt ja natürlich:

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = g

wenn man das in die Gleichung einsetzt, dann kann man nach

g

umstellen und den Grenzwert bestimmen ( das funktioniert nicht immer ).

Wegen der Beschränktheit würde ich die Gleichung folgendermaßen umstellen:

a_{n + 1} = \sqrt{1 + a_{n}}

\overset{}{\Leftrightarrow} (a_{n + 1})^{2} = 1 + a_{n}

\overset{}{\Leftrightarrow} (a_{n + 1})^{2} - 1 = a_{n}

\overset{}{\Leftrightarrow} (a_{n + 1} + 1) \cdot (a_{n + 1} - 1) = a_{n}

\overset{}{\Leftrightarrow} (a_{n + 1} - 1) = \frac{a_{n}}{a_{n + 1} + 1}

\overset{}{\Leftrightarrow} a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1} + 1} + 1

Didgeridoo aktiv_icon

23:37 Uhr, 24.10.2010

Heisst das, dass der Grenzwert 1 ist?

Alx123 aktiv_icon

23:40 Uhr, 24.10.2010

\sqrt{1 + 1} \neq 1

Kosekans aktiv_icon

23:42 Uhr, 24.10.2010

@alx123 hast du nicht irgendwo ne

- 1

zuviel?!

Alx123 aktiv_icon

23:44 Uhr, 24.10.2010

Stimmt, habs korrigiert.

Didgeridoo aktiv_icon

23:46 Uhr, 24.10.2010

Ah ja stimmt, aber wie finde ich denn jetzt den Grenzwert?

Kosekans aktiv_icon

23:49 Uhr, 24.10.2010

Du schriebst oben "Ja, schon, aber wenn

\sqrt{1 + x} = x

sei, dann ist ja der ganze Grenzwert

x,

aber ich weiss ja gar nicht, was dieses

x

ist?"

Was hälst du davon die Gleichung zu lösen?

\to x^{2} = 1 + x

x^{2} - x - 1 = 0

x_{1; 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

.

Wurzelgleichung heißt Probe machen. Dann fällt eine der Lösungen weg und du hast

x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

. Das ist dein Grenzwert.

Alx123 aktiv_icon

23:49 Uhr, 24.10.2010

\sqrt{1 + g} = g

\overset{}{\Leftrightarrow} 1 + g = g^{2}

\overset{}{\Leftrightarrow} g^{2} - g - 1 = 0

edit:

Ah, ich bin einfach zulangsam mit dem Tippen, muss jetzt sowieso Schluss machen.

Didgeridoo aktiv_icon

07:47 Uhr, 25.10.2010

Ah, danke! Ich war gestern wirklich zu müde für die Aufgabe!!! Vielen Dank!

Shipwater aktiv_icon

07:56 Uhr, 25.10.2010

de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt ist vielleicht ganz interessant in diesem Zusammenhang.

@Alx123

Darf man den Äquivalenzpfeil beim Quadrieren überhaupt machen?

Gruß Shipwater

Alx123 aktiv_icon

10:46 Uhr, 25.10.2010

Das kommt darauf an, wie man es betrachten will, also einfach was man voraussetzt. Da Didgeridoo nicht das erste Folgeglied genannt hat, habe ich einfach angenommen das gilt:

a_{n} \in [0, K]

und mit dieser Voraussetzung ändert sich ja die Lösungsmenge nach dem Quadrieren nicht. Es könnte ja auch:

a_{n} \in [- 1, K]

gelten, dann ist die Äquivalenz falsch. Letztendlich ist es sowieso egal, denn das erste Folgeglied würde nichts an der Aufgabenstellung ändern.

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