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Konvergenz/Divergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: divergenz, Folgen, Grenzwert, Konvergenz, Reihen

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14:29 Uhr, 29.11.2010

hallo, ich soll folgende reihen bis morgen auf konvergenz untersuchen:

a)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 4}{n^{2} - 3 n + 1}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 1)^{n - 1}}{(- n)^{n}}

hab mit qotientenkriterium für beide 1 erhalten, sagt also nichts aus, mit minoranten und majorantenkriterium bin ich auch auf nichts gekommen und für b) hab ich noch versucht mit dem leibnizkriterium auf was zu kommen, hat aber auch nicht funktioniert.

vllt kann mir jmd einen tipp geben, welches kriterium ich jeweils verwenden kann, um auf etwas sinnvolles zu kommen und ob ich dann auf divergenz oder konvergenz kommen muss, dann kann ich den rechenweg alleine versuchen.
mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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16:30 Uhr, 29.11.2010

Hallo,

die erste ist ein typischer Fall für das Minorantenkriterium, die zweite für das Leibnizkriterium.
Viel Erfolg!

Mfg Michael

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17:04 Uhr, 29.11.2010

danke, ich werds gleich versuchen, hab allerdings gerade einen fehler bemerkt. bei der ersten müsste unte im bruch

(n^{2} - 3 n + 1)

stehen, denke dann gehts aber bestimmt trotzdem gleich, oder?
mfg julia

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17:35 Uhr, 29.11.2010

Ich dachte ich bekomms mit dem tipp hin, aber irgendwie klappts doch nicht.
die erste hab ich bisher folgendermaßen umgeformt:
(n+4)/(n^2-3n+1) >= n/(n^2-3n+n) = 1/(n-2)
eigentlich wolle ich versuche zu 1/n zu kommen, weil die divergiert, die wäre jetzt aber größer ja größer wie der letzte bruch.

bei der 2. hab ich erst monotonie gezeigt:
(n+1)^(n-1) - (n+2)^n < 0 , da die potenz von n+1 größer als die von n+2 ist, ist das ja klar.
dann zur konvergenz der abolutbeträge habe ich
|((n+1)^(n-1))/((-n)^n)| = |((n+1)^(n-1))/((-1)^(n)+n^n)
= |1/((-1)^n)| * |((n+1)^(n-1))/(n^n) = ((n+1)^(n-1)/(n^n), da nun der zählergrad < nennergrad ist, ist es eine nullfolge. stimmt das so?

lg julia

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18:12 Uhr, 29.11.2010

Hallo Julia,

n - 2 < n \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{n - 2} > \frac{1}{n}

Bei der zweiten:

\frac{(n + 1)^{n - 1}}{(- n)^{n}} = \frac{1}{n + 1} \frac{(n + 1)^{n}}{(- n)^{n}} = \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} (\frac{n + 1}{n})^{n}

. Dann verwende die Abschätzung gegen

e

.

Mfg Michael

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19:00 Uhr, 29.11.2010

okay, bei der ersten hat ich wohl nen ziemlich blöden denkfehler drin.

das mit der abschätzung nach e, haben wir im studium bisher noch nicht gemacht und ich weiß nicht, ob wir das dann verwenden dürfen.
habs aber trotzdem mal versucht.

lim [((-1)^n/(n+1)) * ((n+1)/n)^n ] = lim [(-1)^n/(n+1)] * e
((-1)^n/(n+1)) ist nach Leinbiz-Kriterium konvergent (das haben wir auch schonmal in der Vorlesung bewiesen) und e ist ebenfalls konvergent, also ist auch das produkt konvergent.
hab ich das so richtig verstanden mit der abschätzung nach e ?

lg julia

michaL aktiv_icon

21:13 Uhr, 29.11.2010

Hallo Julia,

ok, vielleicht ist

∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣ = ∣ \frac{\frac{(n + 1)^{n - 1}}{(- n)^{n}}}{\frac{(n + 2)^{n}}{(- n - 1)^{n + 1}}} ∣ = \frac{(n + 1)^{2 n}}{(n (n + 2))^{n}} = {(\frac{(n + 1)^{2}}{n (n + 2)})}^{n} \geq 1 \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{(n + 1)^{2}}{n (n + 2)} \geq 1

, was sogar ohne Induktion geht.

Mfg MIchael

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21:28 Uhr, 29.11.2010

das sieht zwar am ende sinnvoll aus, aber ich kann die zweite umformung nicht nachvollziehen, ich komme nicht auf (n+1)^2n/(n(n+2))^n

lg julia

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21:36 Uhr, 29.11.2010

hab nochmal nach fehlern gesucht und jetzt genau den gleichen bruch nur mit zähler und nenner vertauscht erhalten...

michaL aktiv_icon

22:06 Uhr, 29.11.2010

Hallo Julia,

sorry, habe beim ersten Bruch tatsächlich Zähler und Nenner vertauscht. Allerdings kann man damit doch nun zweifelsfrei beweisen, dass die Folge

(∣ a_{n} ∣)

monoton fallend ist. Dass sie auch eine Nullfolge ist, muss man irgendwie noch basteln, das kann mit der ersten Abschätzung (gegen e) gemacht werden. Dann lässt sich das Leibnizkriterium anwenden.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

22:14 Uhr, 29.11.2010

Hallo Julia,

eben fällt mir noch ein, dass man

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to e

aus der Grenzwertbetrachtung von

\ln [{(1 + \frac{1}{n})}^{n}]

für

n \to \infty

gewinnen kann. Dafür braucht man die Regel von de L'Hôpital. Vielleicht kannst du damit was anfangen.

Mfg Michael

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22:21 Uhr, 29.11.2010

also für den bruch erhalte ich am ende (n^2+2n)/(n^2+2n+1) < 1, da der nenner eindeutig größer ist, damit wäre das dann ja monoton fallend wie du gesagt hast.

wäre das mit l´hôpital jetzt, um die abschätzung nach e zu beweisen? ich hab von dem satz schon was gehört, allerdings konnt ich in in meinem skript auch nicht finden

michaL aktiv_icon

22:44 Uhr, 29.11.2010

Hallo Julia,

die Regel von de l'Hôpital wendet man bei Grenzwerten der Form

\frac{0}{0}

. Gelten

lim_{n \to \infty} f (n) = 0

und

lim_{n \to \infty} g (n) = 0

, so gilt:

lim_{n \to \infty} \frac{f (n)}{g (n)} = lim_{n \to \infty} \frac{f ʹ (n)}{g ʹ (n)}

, sofern letzterer existiert.

Die harte Tour ist folgende: Sei

a_{n} := {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

und

b_{n} := {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

. Man kan relativ einfach zeigen, dass

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq b_{2} \leq b_{1}

, d.h. die beiden Folgen bilden eine Intervallschachtelung (von e). Wichtig ist für dich eigentlich nur, dass die Folge

(a_{n})

also offenbar nach oben beschränkt ist (sie müssste nicht mal unbedingt konvergieren. Damit zeigst du dann nämlich, dass deine Folge (deren Reihe du bei 2. bestimmen willst) eine Nullfolge ist. Alles klar?

Mfg Michael

emotioncatcher aktiv_icon

22:48 Uhr, 29.11.2010

also die erste variante hört sich für mich einfacher an. ich versteh aber nicht an welcher stelle ich die nun anwenden soll? bin grad irgendwie bisschen durcheinander

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