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Kleinster Abstand von Punkt zu Ebene
Universität / Fachhochschule
Tags: Abstand, eben, Extremwert, Extremwertaufgabe, Punkt
 
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Hallo, kann mir bitte jemand helfen? Ich habe nichtmal einen Ansatz bei folgender Aufgabe: "Bestimme denjenigen Punkt in der Ebene der von dem Punkt den kleinsten Abstand hat." Die Aufgabe soll übrigens als Extremwertaufgabe gelöst werden. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Gerade Ebene Geometrie - Einführung Grundbegriffe der ebenen Geometrie |
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"Die Aufgabe soll übrigens als Extremwertaufgabe gelöst werden. " Nicht der beste Weg, aber geht auch. Ein beliebiger Punkt auf der Ebene hat die Form , der Abstand von ihm zum Punkt ist , jetzt muss man das minimieren (besser Quadrat des Abstandes minimieren, damit man nicht mit der Wurzel herumschlagen muss). |
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Danke für deine Antwort. Dann habe ich ja aber und . Soll ich die dann jeweils partiell ableiten, dann die jeweiligen Ableitungen setzen und diese dann in die 2. Ableitung einsetzen? Oder würde das reichen, nur nach abzuleiten? Oder soll ich versuchen, die Aufgabe mit Lagrange zu lösen? Dann hätte ich aber 4 Gleichungen. Was wäre denn der beste Weg (wenn man das nicht als Extremwertaufgabe löst)? |
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"Soll ich die dann jeweils partiell ableiten, dann die jeweiligen Ableitungen =0 setzen" Ja. "und diese dann in die 2. Ableitung einsetzen?" Meinst, um zu prüfen, ob es Maximum oder Minimum ist? Das kann man hier auch ohne prüfen, denn es gibt hier nur eine Extremstelle und sie ist offensichtlich Minimum. |
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"Was wäre denn der beste Weg (wenn man das nicht als Extremwertaufgabe löst)?" Hinter der unüblichen Ebenenbezeichnung z=x+y steckt die Ebenengleichung x+y-z=0. Diese Ebene hat den Normalenvektor . Wenn wir durch P=(1,0,0) eine Gerade gehen lassen, die als Richtungsvektor besitzt, so schneidet diese Gerade die Ebene in dem Punkt, der von allen Ebenenpunkten am nächsten an P=(1,0,0) liegt. |
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Also ich habe heraus: und Wenn ich die jetzt setze: Was soll mir das bringen? Ist das schon der gesuchte Punkt und somit die Aufgabe gelöst? |
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Nö, Du musst das System richtig lösen, was Dir irgendwie nicht gelungen ist. Z.B. aus der 2. Gleichung in die 1. einsetzen: => => => => . |
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Danke - also lautet der Punkt mit dem kleinsten Abstand . Wenn ich nun die Werte von und in die Gleichung einsetzen würde, dann hätte ich den konkreten Abstand als Zahl gegeben, richtig? :-) |
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Jawohl |
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