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Kleinster Teiler Primzahl Beweis

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Beweis, Primzahl, Teilbarkeit

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21:02 Uhr, 11.09.2014

Hello hello,

ich möchte beweisen, dass der kleinste Teiler einer Zahl (ohne

1)

immer eine Primzahl ist. (Warum ohne 1? Die steck ja in jeder Zahl in

ℕ)

Da ich nicht einfach googeln will, ob mein Ansatz richtig ist, poste ich ihn hier, da ich hier meist feedback bekomme und evtl. Fehler selber versuchen kann zu berichtigen, während google mir einfach die Lösung ausspuckt und dann kann ichs auch nicht mehr versuchen :-)

Bitte berücksichtigen, dass ich das Ganze nicht

100 %

korrekt formal aufschreiben kann, Studium muss erst noch beginnen

. .

. Geht also mehr um den Ansatz als um das "wie schreibt man es korrekt auf". Danke.

Zu beweisen: Der keinste Teiler einer Zahl

n \in ℕ

{

1} ist stets eine Primzahl und wird im folgenden mit

m

bezeichnet.

Wir dürfen also davon ausgehen, dass

m

der kleinste Teiler von

n

ist (ist ja erstmal die Behauptung - nach dem Wohlordnungsprinzip gibt es ja in jeder endlichen nicht leeren Menge ein kleinstes Element)

\Rightarrow m | n \Rightarrow \exists k \in ℕ

m \cdot k = n

.

Jetzt nehmen wir weiter an, dass

m

KEINE Primzahl ist (indirekter Beweis).

Wenn

m

aber

\notin P

(Menge aller Primzahlen) ist, so kann

m

von einer kleineren Zahl (Primfaktorzerlegung) geteilt werden.

Also: Wenn

m \notin P

dann

\exists k_{2} \in ℕ

q \cdot k_{2} = m

.

Daraus folgt nun also das dieses

k_{2} m

teilt:

k_{2} | m

.

Wenn aber

k_{2} | m \land m | n

folgt

\Rightarrow k_{2} | n

k_{2}

teilt also auch unser

n,

genau wie

m

. Da

k_{2}

aber auch

m

teilt muss

k_{2} < m

gelten. Nun haben wir also mit

k_{2}

eine Zahl gefunden, die auch

n

teilt UND kleiner ist als

m -

und genau hier endet die Reise - da

m

von uns als kleinster Teiler von

n

definiert wurde.

Widerspruch gefunden

\Rightarrow

Die Annahme,

m

(kleinster Teiler) wäre KEINE Primzahl ist falsch

\Rightarrow

der kleinste Teiler ist eine Primzahl. (Ohne die

1)

Bitte zerlegt mich nicht wie eine Zahl in ihre Primfaktoren. Auf offensichtliche Fehler darf aber gerne hingewiesen werden :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

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pwmeyer aktiv_icon

07:27 Uhr, 12.09.2014

Hallo,

sieht für mich gut aus.

Gruß pwm

mounten aktiv_icon

07:10 Uhr, 01.04.2020

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