 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Koabzählbare Topologie Hausdorff Axiom
Koabzählbare Topologie Hausdorff Axiom
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Grenzwerte
Stetigkeit
Algebraische Topologie
Mengentheoretische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, Folgen und Reihen, Grenzwert, Mengentheoretische Topologie, Stetigkeit
 
|
  |
|---|
|
Def: Für leere Menge ist Teilmenge eine koabzählbare Topologie, falls leere Menge in und falls Teilmenge mit ohne abzählbar Def: Ein metrischer Raum erfüllt das Hausdorff Axiom, falls leere Menge und sind nach Def Umgebungen um und falls sie eine offene Umgebung enthalten in der und sind Aufgabe: Finden sie notwendige und hinreichende Bedingungen für die Menge . mit der koabzählbaren Topologie ein Hausdorff Raum ist. Mein Ansatz: abzählbar ist eine hinreichende Bedingung: Falls abzählbar ist können die Umgebungen und gewählt werden, da sie disjunkt und in der koabzählbaren Topologie offen sind. Mir fallen jedoch eine anderen notw und hinr Bedingungen ein. Wäre abzählbar auch eine notwendige Bedingung? Welche anderen Bedingungen gibt es? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
|
 |
|
Hallo, super, dann hast du ja bereits eine hinreichende Bdingung gefunden. Nun zeige noch, dass überabzählber nicht Hausdorffsch gilt. Zeige, dass bei überabzählbarem der Durschnitt zweier nichtleerer offener Mengen nicht leer ist. Gruß ermanus |
 |
|
Falls überabzählbar ist können als offene Mengen nur und Leere Menge gewählt werden (Stimmt das?). Damit und also jeweils in der offenen Menge sind muss gewählt werden. Dann ist jedoch Leere Menge Wiederspruch Gibt es noch andere Bedingungen? |
|
|
|
"Falls X überabzählbar ist können als offene Mengen nur X und Leere Menge gewählt werden (Stimmt das?)." Leider nicht! Wenn man mit dieser Topologie versieht, gibt es unendlich viele verschiedene offene Mengen. |
|
|
|
Aber in der koabzählbaren Topologie ist ja eine Menge nach Def nur offen wenn sie leer ist oder ihr komplement abzählbar ist. Falls überabzählbar ist, zb dann ist für jede echte Teilmenge A von das Komplement ohne A nicht offen nach Def da ohne A nicht abzählbar ist. Meine offenen Mengen sind ja nur die Mengen die in der Topologie enthalten sind. |
|
|
|
Naja, sei , dann ist offen, da abzählbar ist. |
|
|
|
überabzählbar kein Hausdorff-Raum Wie kann ich dann zeigen, dass für jede Umgebung um und die offen sein soll, der Schnitt nicht leer ist um die Behauptung zu beweisen? Es muss ja für jede beliebige Umgebung gelten? Vielleicht könnte ich für die Umgebung X\y} und für die Umgebung X\{x} wählen. Beide sind offen, aber der Schnitt ist nicht leer. Aber das sind nicht die einzigen Umgebungen die ich erhalten kann, ich muss es für alle Umgebungen zeigen Könnte man so vorgehen: Für wähle die Umgebung ohne abzählbare Menge ohne Und für wähle die Umgebung ohne abzählbare Menge ohne Dann ist nie leer |
|
|
|
Wenn gilt, dann hast du . Vielleicht kannst du damit etwas anfangen? |
 |
| Ja, das hat geholfen ich hab’s jetzt raus. Danke |
|
|
|
Könntest du einmal erklären wie genau du das bewiesen hast? :-) |
|
|
|
Hallo, ich hoffe, du hast nichts dagegen, wenn ich einspringe? Ist eine offene Menge und für eine Menge , so folgt . Da offen ist, ist abzählbar, also ist als Teilmenge einer abzählbaren Menge abzählbar, folglich nicht offen; denn die offenen Mengen sind überabzählbar, da ihre Komplemente abzählbar sind. |
1533726
1533667