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Körper aus 3D Fläche berechnen
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Dreieck, Fläche, Körper, Polyeder, Polygon, Shape
 
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Guten Tag, ich habe eine Liste von Punkten in einem 3D-Raum. Ein Triangulationsalgorithmus liefert mir eine Liste von Polygonen. Für jedes Polygon habe ich 3 Punkte aus dem 3D-Raum gegeben. Ich habe also ein Polygon mit 3 Ecken (Trigon). Ich möchte mir daraus nun einen entsprechenden Körper (Polyeder) berechnen, um anschließend das Volumen zu bestimmen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, Wenn du Dreiecke aus den Punkten deiner Punktwolke erstellst - weißt du überhaupt, welche Dreiecke "echte" Begrenzungsflächen deines Polyeders sind? Es kann doch darunter auch Dreiecke geben, die im Inneren des Polyeders liegen. Zur Volumenberechnung: Wenn du einen Punkt im Inneren dieses Körpers hast, kannst du ihn mit allen Eckpunkten verbinden. Der Körper wird damit in lauter dreiseitige Pyramiden zerlegt, deren Volumina du berechnen und addieren musst. |
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Erst haben Connelly, Sabitov und Walz die sog. "Blasebalg-Vermutung" bewiesen. Hier geht es darum, dass es eine Beziehung zwischen den Längen aller Kanten und dem Volumen eines beliebigen Polyeders gibt. Die zugehörige Formel soll enorm kompliziert und abschreckend sein und es ist natürlich keinesfalls so, dass das Volumen durch die Länge aller Kanten eindeutig festgelegt ist. Vielmehr hat die Beziehungsgleichung zwischen Kantenlängen und Volumen mehrere Lösungen, weil ja auch zu gegebenen Kantenlängen mehrerer unterschiedliche Polygone gibt. Für deine Zwecke ist das vermutlich nicht brauchbar. Zielführender wäre es, wenn du einen Algorithmus findest, der dir das Volumen in Tetraeder zerlegt, so wie du offenbar bereits die Oberfläche trinaguliert hast. Eine einfache Formel in die du einfach nur die gegebenen Punkte reinwirfst ist aber natürlich nicht zu erwarten. |
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Innerhalb und unterhalb eines Polygons liegen keine weiteren Punkte. Um das ersteinmal zu vereinfachen, würde ich das gerne an einem Beispiel durchrechnen. Also in R³ habe ich 3 Punkte Mein Polygon. Ist es überhaupt möglich, daraus einen Körper zu berechnen? |
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Also in R³ habe ich 3 Punkte → Mein Polygon. Ist es überhaupt möglich, daraus einen Körper zu berechnen? Nein. Durch drei Punkte ist ein Dreieck festgelegt aber kein dreidimensionaler Körper. Dafür benötigt man schon mindestens vier Punkte Tetraeder) die nicht komplanar sind. Durch eine Punktwolke allein ist auch noch kein Körper festgelegt. Dazu würde man noch eine Kanten- und orientierte Flächenliste hinzufügen müssen und eine Zuordnung, welche Fläche an welcher Kante liegen. "Orientiert" bedeutet hier, dass man entscheiden kann, welche Seite der Fläche "außen" und welche "innen" ist. Relativ leicht ließe sich das Volumen von Körpern berechnen, welche eine Inkugel besitzen (berührt jede der Seitenflächen). Das müsste relativ leicht mit dem Satz von Gauß zu erledigen sein. Allerdings werden wohl nur die wenigsten Polyeder eine Inkugel haben. Der Vorschlag von abakus würde bestenfalls nur bei konvexen Körpern mit triangulierten Seitenflächen funktionieren. |
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