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Körper- und Anordnungsaxiome

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Anordnungsaxiome, Beweis, Körperaxiome

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22:59 Uhr, 27.10.2012

Hallo, guten Abend,

Ich muss zeigen mithilfe der Körper- und Anordnungsaxiome, dass für alle

a, b \in ℝ

aus

a^{3} = b^{3}

folgt:

a = b

Ich habe angefangen zu überlegen und bin der Meinung, dass ich gewissermaßen zeigen muss, dass

a^{3}

bzw.

a \cdot a \cdot a

eindeutig bestimmt ist. Mit anderen Worten, die Funktion

f (a) = a^{3}

ist für alle

a \in ℝ

injektiv, es gibt keine zwei verschiedene

a \in ℝ

sodass

f (a 1) = f (a 2)

.

Die Frage ist nur, wie ich argumentieren kann, und zwar eben in diesem Axiomenschema. Habe ja quasi diese Vorgabe an Hilfmitteln bzw. diese feststehenden Vorgaben, die ich anwenden darf.

bitte um Hilfe ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Underfaker aktiv_icon

23:02 Uhr, 27.10.2012

Naja, die Verwendung von Körperaxiomen ist so direkt gefordert, dass du dich auch gedanklich lieber nahe daran orientiert.

a^{3} = b^{3}

ist ja nur eine andere Schreibweise für

a \cdot a \cdot a = b \cdot b \cdot b

nun gibt es zwei Axiome die anzuwenden sind (außer für einen Spezialfall)

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23:06 Uhr, 27.10.2012

Wahrscheinlich denke ich viel zu kompliziert..
Ich muss ja irgendwie die

(a \cdot a)

und

(b \cdot b)

wegbekommen, aber die Inversen Elemente könnten ja theoretisch auch erstmal verschieden voneinander sein.

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23:08 Uhr, 27.10.2012

Oder könnte annehmen, dass die Inversen Elemente von a und

b

identisch sind, und dann zeigen, dass so die Behauptung gilt, und somit

a = b

gilt?

Underfaker aktiv_icon

23:25 Uhr, 27.10.2012

Ok so ganz klar ist es dann doch nicht.

Wir könnten mit dem additiven Inversen von

b^{3}

addieren.
Eventuell ist die Überlegung erlaubt (ich bin aber nicht sicher ob das noch der Aufgabenstellung so entspricht, eventuell hat jemand anderes noch Ideen):

(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}

Also:

a^{3} = b^{3} \Leftrightarrow a^{3} - b^{3} = 0 \Leftrightarrow (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = 0

Es gibt nun die Möglichkeiten, dass

a - b = 0

ist oder

a^{2} + a b + b^{2} = 0

Letzteres hat aber für

a = b \neq 0

keine Lösung in

ℝ

und erste auch nur für

a = b,

damit wärst du fertig.
Das folgt aus der Nullteilerfreiheit des Körpers, sollte man diese nicht benutzen ginge es auch so:

Sei

o

B . d . A a > b

dann ist auch

a - b > 0

wir multiplizieren mit

a^{2} + a b + b^{2}

und erhalten:

a^{3} - b^{3} > 0

Das gilt wen

a^{2} + a b + b^{2} > 0

1. Fall

a > b > 0 \to

klar
2. Falls

b < a < 0 \to

im Prinzip auch klar
3. Fall

a > 0

und

b < 0

dann betrachten wir

a^{2} + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} - a b = {(a + b)}^{2} - a b

Damit hätten wir einen indirekten Beweis geführt.

Gammler aktiv_icon

00:14 Uhr, 28.10.2012

Ich denke, so ist das hinreichend. Zumal man schön mit den Axiomen dann argumentieren kann. Diese kleine Eventualität nehme ich mal hin, ist ja eigentlich nur eine Äquivalenzumformung und sollte ja hoffentlich erlaubt sein.

In diesem Sinne bedanke ich mich recht herzlich ;-)

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