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Körperaxiome - Rechenregeln beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Körperaxiome, Rechenregel

Annikanni aktiv_icon

20:05 Uhr, 15.10.2012

Sei

K

ein Körper und

a, b \in K

. Beweisen Sie aus den Körperaxiomen die folgenden
Rechenregeln:

a

. Das multiplikativ neutrale Element ist eindeutig,

d

h

. sind

1 \in K

und 1

0 \in K

multiplikativ neutral, so folgt

1 = 1

b

. Sei a ungleich 0. Dann ist das multiplikativ Inverse zu a eindeutig.

c

- (- a) = a

d

(- 1) \cdot a = - a

e

0 \cdot a = 0

Ich habe folgene Bitte:
Also, die folgenen Rechenregeln, die wir hier beweisen müssen, ist ja die Definition für eine Körper. Ich weiß aber gar nicht, wie man so etwas zeigt. Ich meine es ist klar, dass

- (- a) = a

ist. Ich weiß aber nicht wie ich hier an den Beweis rangehen soll. Ich wäre euch sehr dankbar, mir jemand eine dieser Beweise zeigen kann, damit ich bei den andren hoffentlich eine Idee bekomme :-)

Liebe Grüße, Annika

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

20:12 Uhr, 15.10.2012

Hallo,

a) musst du noch mal formulieren. Verwende bitte für (potentiell) verschiedene Dinge auch unterschiedliche Symbole!

c) Ist wirklich extrem einfach, musste ich damals aber auch erst gesehen haben. Daher der ultimative Tipp: Bedenke, dass das (additive) Inverse eindeutig ist, d.h. gelten

a + b = 0

UND

a + c = 0

, so muss

b = c

gelten.

d) Verwende das Distributivgesetz für einen Term, der den deinen enthält! Verwende außerdem den Tipp aus c).

e) Typischer Fall für's Distributivgesetz. Bedenke:

0 = 0 + 0

;-)

Bei b) bin ich selbst unsicher. Welche Axiome habt ihr denn für einen Körper angegeben? (Das hat natürlich Auswirkungen auf alle Aufgabenteile!)

Mfg Michael

Annikanni aktiv_icon

20:30 Uhr, 15.10.2012

Hey,
schonmal vielen Dank für deine schnelle Antwort! Dann ist das ja gar nicht so schwer ;-)
Ich finde das jetzt noch (1.Semester) so schwer zu sehen,ob die jetzt so was einfaches verlangen, oder es richtig kompliziert ist, und was man alles bedenken muss,

. .

.

Also nochmal die

a)

Das steht genauso in der Aufgabenstellung.. verstehe selber nicht, was mit 1 und

1'

gemeint ist..

So und hier unsere Definition von Körper:

A 1) x + y = y + x

A 2) x + (y + z) = (x + y) + z

A 3) \exists 0 \in K

mit

x + 0 = x

A 4) \forall x \in K \exists y \in K

mit

x + y = 0

M 1) x \cdot y = y \cdot x

M 2) x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z

M 3) \exists

ein Element 1 ungleich 0 sodass

x \cdot 1 = x

M 4) \forall x

ungleich

0 \exists y \in K

mit

x \cdot y = 1

D) x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z

Annikanni aktiv_icon

21:02 Uhr, 15.10.2012

Bzw. was bedeutet Axiom überhaupt?

: S

Underfaker aktiv_icon

21:19 Uhr, 15.10.2012

Axiome sind Grundsätze, bspw. sind es hier Bedingungen die erfüllt sein müssen.

Was für

a)

gilt ist fFolgendes, du sollst zeigen, dass das Neutrale Element der Multiplikation eindeutig ist, das bedeutet, man nimmt an es gäbe 2 neutrale Elemente 1 und

1'

und zeigt, dass dann

1 = 1'

gelten muss. (Ähnlich die

b)

michaL aktiv_icon

21:33 Uhr, 15.10.2012

Hallo,

nun, bei a) musst du aus

x \cdot 1 = x

\forall x

UND

x \cdot 1 ʹ = x

\forall x

beweisen, dass

1 = 1 ʹ

gilt. Ich finde die Symbole zu diesem Zeitpunkt eher ungeeignet. Wenn du willst, kannst du dafür andere Symbole verwende, was aber dem ganzen keinen anderen Sinn gibt. Symbole sind halt nur Symbole.
Du sollst beweisen: Es gibt keine zwei verschiedenen Einsen (i.e. neutralen Elemente der Multiplikation). Haben zwei die gleiche Eigenschaft (neutral zu sein), dann sind sie schon gleich.

Denke für den Beweis daran, dass 1 bzw 1' auch Elemente sind, die für

x

eingesetzt werden können!

Für die anderen muss ich schon sagen, dass die Existenz-Aussagen in (A4) und (M4) Eindeutigkeitsaussagen sein müssen.
Also: (M4)

\forall x \neq 0 \exists^{1} y \in K

x y = 1

z.b.

Dann kannst du die von mir angedeutete Eindeutigkeitsaussage verwenden. Das ist eine übliche Aufgabe für Anfänger!

Mfg Michael

Annikanni aktiv_icon

21:36 Uhr, 15.10.2012

Ach super! Sehr lieb von euch, dass ihr so schnell geantwortet habt!
Ich werde mich da bis Mittoch mal dransetzten, und dann hier meine Lösungen posten. Hoffe, dass ich das dann hinbekomme.
Und ja - Anfänger passt. Hatten erst 2 Vorlesungen bzw. 1 Woche Uni :-)

Annikanni aktiv_icon

21:05 Uhr, 18.10.2012

So, ich habe mich daran jetzt mal versucht. Konnte nicht jedne Tip verwenden, habe nochmal einen aus meinem Sudium nach einem Tip gefragt und komme jetzt auf folgene Ergebnisse/Fragen :

a) x \cdot 1 = X

und

x' \cdot 1 = x,

dann ist

x \cdot 1 = x \cdot 1' \Rightarrow 1 = 1'

(man darf hier doch durch

x

teilen, da angenommen wird dassx ungleich Null ist, da der Sinn vom neutralem Element ja sonst verloren gehen würde.. oder?)

b)

Ist das hier nicht exakt der selbe Beweis?

a \cdot 1 = a

und

1' \cdot a = a . .

c) - (- a) = - a (- a

ist Invers. von

- (- a)

und a inv.

- a)

- (- a) - a = a - a

a - a = 0

0 = 0

d)

zz:

(- 1) \cdot a = - a

(- 1) \cdot a = (- 1 \cdot 1) \cdot a = - 1 \cdot (1 \cdot a) = - (a) = - a

Hier hattest du mir ja das Distriubutivgesetzt als Tip gegeben, aber das verstehe ich nicht. Höchstens wenn du folgenes meinst:

(- 1) \cdot a = a \cdot (- 1 + 0) = - a + o = - a

(aber dass

0 \cdot a = 0

ist, beweisen wir ja erst bei

e,

dann darf man das doch noch nciht benutzten, oder?

e) 0 \cdot a = 0

0 (a + 0) = 0

0 \cdot a + 0 \cdot 0 = 0

Da 0 kein multi. Invers. ist

a \cdot o = 0

Bitte um weitere Tips bezieheungsweise Korrekturen :-)

Annikanni aktiv_icon

19:07 Uhr, 19.10.2012

Ist das so richtig? :-)
Muss das für morgen wissen!

anonymous

19:17 Uhr, 19.10.2012

Die Körperaxiome sind SEHR STRENG.
Eigentlich dürfte man nicht sagen: zu a gibt es ein

b

mit

a + b = 0

Richtig: zu jedem a gibt es GENAU ein

... ...

.
Und noch etwas zur Eindeutigkeit des neutralen Element bzw. des inversen Elements. Der Beweis wird meistens indirekt geführt. Man nimmt zwei versch. neutrale Elemente an

\Rightarrow

Gleichheit.

\exists

bedeutet streng genommen NICHT es gibt GENAU ein

...

.
Aber vielleicht müsst ihr das nicht so genau machen.

anonymous

19:21 Uhr, 19.10.2012

Was mir auch ein wenig fehlt, ist die generelle Definition eines Körpers.
Menge

K

zwei Verknüpfungen

(z . B

+

und . )

{K, +}

abelsche Gruppe, neutrales Element 0

{K

\0,.

}

abelsche Gruppe, neutrales Element 1
und dann die weiteren...

michaL aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.10.2012

Hallo,

die Eindeutigkeit der 1 kann man so herleiten. Wichtig ist der Hinweis, dass

x \neq 0

gilt. Aber das ist in einem Körper ja kein Problem, da gibt es ja mindestens noch die 1.
Allerdings kann ich mich der Aussage meines Vorredners nur anschließen, meist wird 1 als eindeutiges neutrales Element der Multiplikation definiert. Muss aber nicht (anders als bei den Inversen).

Du kannst aber

1 = 1 ʹ

auch so beweisen:

1 ʹ = 1 ʹ \cdot 1

, weil 1 neutral ist.

1 = 1 \cdot 1 ʹ = 1 ʹ 1 \cdot 1

, weil 1' neutral ist.
Zusammengenommen:

1 ʹ = 1 ʹ \cdot 1 = 1 \cdot 1 ʹ = 1

fertig.

Mfg Michael

Annikanni aktiv_icon

19:31 Uhr, 19.10.2012

Und was ist mit den anderen Aufgabenteilen?

Liebe Grüße, Annika

michaL aktiv_icon

19:37 Uhr, 19.10.2012

Hallo,

b) geht ähnlich aber doch irgendwie anders.

Gleich ist, dass du von der angegebenen Eigenschaft "Inverses von a" ausgehst:

a \cdot b = 1

a \cdot c = 1

Gleich ist, dass du daraus beweisen sollst, dass die beiden in Frage stehenden Elemente gleich sind:

b = c

Der Trick dafür ist recht einfach: Es ist also zu zeigen, dass zwei Elemente

b

und

c

, die beide die Eigenschaft

a \cdot b = 1

bzw

a \cdot c = 1

haben, gleich sind.
Und los:

b = b \cdot 1 = b \cdot (a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = 1 \cdot c = c

Mfg Michael

Annikanni aktiv_icon

19:41 Uhr, 19.10.2012

Also ist der elementare Unterschied hier, dass die Axiome eben besagen, dass es GENAU EIN neutrales Element gibt, und man nicht annhemen darf, dass es 2 gibt?
Das selbe ja dann für die

b

. Okay, das verstehe ich. Ich kann nach der Besprechung ja mal nachfragen!
Bei der

c - e,

sind die denn dann auch alle flasch weil wir zu ungenau mit den Axiomen gearbeitet haben?

Danke schonmal für die Hilfen! :-)

Annikanni aktiv_icon

19:41 Uhr, 19.10.2012

Also ist der elementare Unterschied hier, dass die Axiome eben besagen, dass es GENAU EIN neutrales Element gibt, und man nicht annhemen darf, dass es 2 gibt?
Das selbe ja dann für die

b

. Okay, das verstehe ich. Ich kann nach der Besprechung ja mal nachfragen!
Bei der

c - e,

sind die denn dann auch alle flasch weil wir zu ungenau mit den Axiomen gearbeitet haben?

Danke schonmal für die Hilfen! :-)

michaL aktiv_icon

19:47 Uhr, 19.10.2012

Hallo,

naja, c) benutzt vermutlich die Eindeutigkeit des additiven Inversen. Mir scheint das bei euch auch etwas inkonsistent.
Sowohl

a

also auch

- (- a)

sind (additive) Inverse zu

- a

.
Da aber auch die additiven Inverse eindeutig sind (analoger Beweis wie bei b), müssen diese Elemente gleich sein.

Mfg Michael

Annikanni aktiv_icon

22:00 Uhr, 19.10.2012

Sind denn unsere Lösungen grundsätzlich falsch, oder ist es nur eine Frage wie genau man das machen muss bezogen auf die Körperaxiome?
Odr könnte man das theoretisch so abgeben, weil wir einen chilligen Tutor haben der meint dass er am Anfang noch nciht so streng korrigiert :-)

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