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Komplementäre Unterräume

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Beweis, komplementäre Unterräume, Vektorraum

kueggn aktiv_icon

18:33 Uhr, 03.12.2009

Hallo!

Ich suche den Beweis dafür, dass

U 1

und

U 2,

die lineare Unterräume eines Vektorraums

V

über

K

sind, genau dann komplementär sind, wenn ein

x

V

eine eindeutige Darstellung

x = u 1 + u 2

mit

u 1

U 1

und

u 2

U 2

besitzt.

Kann mir da jemand bei dem Ansatz helfen?

Schonmal vielen Dank!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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hagman aktiv_icon

18:38 Uhr, 03.12.2009

Naja, schreib doch mal die Definiton von komplementär ausführlich hin.

kueggn aktiv_icon

22:47 Uhr, 03.12.2009

Naja, also zwei Unterräume sind zueinander komplementär, wenn beide zusammen den Vektorraum ergeben, beide linear unabhängig sind und kein Element des einen Unterraums auch gleichzeitig im anderen Unterraum vorkommt, oder?
Aber wie setze ich das jetzt für den Beweis um? Mir fehlt da einfach der Ansatz...

hagman aktiv_icon

22:54 Uhr, 03.12.2009

Naja, so ganz die richtige Definition dürfte das nicht sein. "und kein Element des einen Unterraums auch gleichzeitig im anderen Unterraum vorkommt"? Mindestens die 0 kommt in jedem Unterraum vor.

Seien

U_{1}, U_{2}

komplementär.
Sei

x \in V

. Da

U_{1}

und

U_{2}

ganz

V

aufspannen, gibt es

u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}

mit

u_{1} + u_{2} = x

.
Falls auch

x = u_{1}' + u_{2}'

mit

U_{1}' \in U_{1}, u_{2}' \in U_{2},

folgt

u_{1} - u_{1}' = u_{2}' - u_{2};

die linke Siete ist in

U_{1},

die rechte in

U_{2},

also liegt

u_{1} - u_{1}' = u_{2}' - u_{2} \in U_{1} \cap U_{2} = {0}, d . h u_{1} = u_{1}', u_{2} = u_{2}

. Die Darstellung ist also eindeutig.

Die Rückrichtng geht entsoprechedn

kueggn aktiv_icon

23:01 Uhr, 03.12.2009

Vielen Dank!

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