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Komplementärteiler, Zusammenhang Quadratwurzel
Universität / Fachhochschule
Tags: Beweis, komplementärteiler, Teil
 
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Hallo, "Bei den Paaren aus Teiler und Komplementärteiler ist stets ein Partner kleiner oder gleich der (Quadrat)Wurzel" Wieso ist das so? Wenn gilt: n = a * b n...Vielfaches von b, b...Teiler Wenn die Teiler gleich sind (a=b) dann ist ja leicht ersichtlich n = b * b Wurzel(n) = b Ergo bei Gleichheit von a und b kommt die Wurzel raus. Die Gleichheit kann man also leicht zeigen. Wie kann ich jetzt aber zeigen das ein Partner stets kleiner (oder gleich) ist? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo, nun, sei mit . Wären . Merkste selber, oder? |
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Hallo Micha, du zeigst doch nur was passiert, wenn In diesem Fall kommt ja raus, da Ich will ja aber wissen/zeigen das ein Partner oder dann stets ist... |
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Vielleicht ist die Idee von michaL nicht richtig rübergekommen (liegt vielleicht daran, dass an einer entscheidenden Stelle ein ">"-Zeichen fehlt - bei der Kompetenz von michaL mit Sicherheit nur ein ärgerlicher Tippfehler), daher nochmal etwas anders aufbereitet: Sei IRGENDEIN positiver Teiler von . Dann gibt es eine ebenfalls positive ganze Zahl mit , dieses ist ja dann der Komplementärteiler. Die Annahme nun, dass BEIDE diese Zahlen sind, führt zu , was im Widerspruch zu steht. Somit muss wenigstens eine der beiden Zahlen sein!!! |
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Alles klar, das leuchtet ein!!! Könnte man jetzt analog argumentieren das nicht beide Teiler sein können? DANKE |
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Ja, geht genauso. |
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Könnte man das so zeigen? 1. 2. Annahme: Also müsste ja Da (wegen und (wegen müsste also wahr sein, was natürlich ein Widerspruch ist, richtig argumentiert? |
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Ja. (Komme mir langsam blöd vor mit diesen kurzen Bestätigungsbeiträgen. Aber wenn's der Sache dient, deine Beweissicherheit zu stärken, dann soll es so sein. ;-) ) |
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DANKE AN EUCH BEIDE. Und ja, die Bestätigung hilft mir auch weiter :-) |
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Eine Frage habe ich doch noch... "Bei den Paaren aus Teiler und Komplementärteiler ist stets ein Partner kleiner oder gleich der (Quadrat)Wurzel" Könnte ich auch zeigen, dass für a immer ist bzw. (gleich ja nur, wenn a=b)??? Unabhängig von dem konkreten Wert |
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Wenn man zwei Zahlen hat, deren Produkt ist und man selbst festlegen darf, welcher davon und welcher ist, dann darf man die Zuordnung so durchführen, dass ist, das folgt schlicht aus der Totalität dieser Ordnung . Ist aber ein fest vorgegebener Teiler von und dessen Komplementärteiler, dann darf man das natürlich NICHT annehmen. |
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Hallo Hal, Danke für die schnelle Antwort! "Ist aber a ein fest vorgegebener Teiler von und dessen Komplementärteiler, dann darf man das natürlich NICHT annehmen." Welche Konsequenzen ergeben sich, wenn a ein fest vorgegebener Teiler von ist und dessen Komplementärteiler? Kann ich dann was über die Größenrelation der beiden beteiligten Teiler a und aussagen? Also das . a immer kleiner ist für ein festes a? |
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Herrje, muss ich das denn noch konkreter machen? Wenn n=6 ist und a=3 ein Teiler davon, dann ist b=2 der Komplementärteiler und es ist sicher NICHT . War das jetzt endlich deutlich genug? (Irgendwie eine total sinnfreie Diskussion, die du da in den letzten Beiträgen forciert hast. Ich weiß nicht im geringsten, was du damit bezweckst.) |
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Hallo Hal, Danke für die Rückmeldung und das konkrete Beispiel. " Wenn ist und ein Teiler davon, dann ist der Komplementärteiler und es ist sicher NICHT a≤b." Es geht mir darum: Wenn ich also alle Teiler einer Zahl betrachte: und die entsprechenden Komplementärteiler betrachte gilt scheibar ja immer: . . Wenn ich mir ein konkretes Beispiel anschaue (alle Teiler der und deren Komplementärteiler) Teilermenge der Wir haben ja die Teiler und die entsprechenden Komplementärteiler . Also die Teilerpaare Und scheinbar gilt ja . die Teiler sind immer kleiner als die Komplementärteiler (oder höchstens gleich, wenn . Wie kann ich das zeigen (oder widerlegen)??? |
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Hallo, verstehe nicht, was du genau behauptest ... Jeder Teiler ist doch auch der Komplementärteiler eines Teilers. Die Menge aller Teiler ist gleich der Menge aller Komplementärteiler. Meinst du vielleicht folgende Aussage: sei die Menge aller positiven Teiler von , . Dann ist eine ordnungsumkehrende Bijektion. Gruß ermanus |
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Sehe ich auch so - du drückst dich einfach ungenau aus: Du musst klar und deutlich sagen, dass du mit eben NICHT alle Teiler von meinst, sondern nur die . Und dass du diese Teiler so zuordnest dass o.B.d.A. gilt - auch das musst du dazusagen! So, und wenn du denen dann ihre Komplementärteiler via zuordnest, DANN gilt tatsächlich . Wobei dann übrigens und sind. So kommt das ganze logisch vom Kopf auf die Füße. |
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Hallo Hal, Danke für die konstruktive Kritik. Ich werde mich bemühen, mich präziser auszudrücken. Zurück zum Thema der Teiler: Ich weiß ja folgendes: Wenn dann gilt ja und damit (analog natürlich wenn Was für Konsequenzen hat es aber dann, wenn ist? |
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Hallo, wenn , dann . Meinst du das? Es ist nicht klar, in bezug worauf "" Konsequenzen haben soll. So hat es z.B. als Konsequenz und Tausende andere Konsequenzen ;-) |
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Vielleicht meinst du folgendes: Bleiben wir bei deinem Nun gilt genau dann, wenn Quadratzahl ist, in dem Fall hat genau positive Teiler. Ist hingegen keine Quadratzahl, dann gilt , und hat dann genau positive Teiler. |
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Hallo, Frage 1 ja, genau: wenn dann . Das meine ich. Das ist für mich nicht direkt ersichtlich. Das wenn ist, ist ja leicht zu sehen, da bzw. und damit . Warum folgt jetzt aber aus das Frage 2: Nun gilt genau dann, wenn Quadratzahl ist, in dem Fall hat genau 2j−1 positive Teiler. Wie kann ich das zeigen. |
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Zu Frage 1: Sei . Angenommen, es wäre , dann hätten wir , also und , mithin , was den Voraussetzungen widerspricht. Also gilt . Hieraus folgt weiter: . |
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Was gibt es da noch groß zu zeigen? kann offenbar nur vorkommen, wenn Quadratzahl ist - umgekehrt passiert es auch für jede Quadratzahl mit dann eben . Und was die Teilerzahl betrifft: Zähl einfach mal durch - im Fall darfst du die beiden aber nur als einen Teiler zählen, denn es ist ja ein- und dieselbe Zahl - während es im Fall tatsächlich zwei verschiedene Teiler von sind. |
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Hallo, könnte man auch nicht so argumentieren: Wenn dann und damit (da also muss gelten: |
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Klar :-) Das wäre ja auch einfacher! Du meintest aber sicher und nicht ;-) |
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Halle ermanus, ja, ich meinte und nicht . Hier noch einmal der Vollständigkeit halber: Wenn dann und damit (da n=a⋅b) also muss gelten: |
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Prima ! |
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