Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Konvergenz

Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Hiho12345

Hiho12345 aktiv_icon

11:16 Uhr, 26.05.2023

Antworten
Hallo ich habe die folgende Aufgabe bekommen. Ich habe folgenden Ansatz bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Lösung:
Wir müssen 2 Dinge beweisen:
1. Folge yn konvergiert gegen X
2. Grenzwert ist eindeutig.

Zu 1: wir haben, dass xn konvergiert mit dem Grenzwert X. Das bedeutet: für jede positive zahl ε gibt es einen Index n so dass |xn-n| <ε für alle n>N. Im folgenden schreibe ich für Epsilon e. Wir müssen zeigen, dass yn gegen X konvergiert. Das bedeutet
: für jede positive zahl e gibt es ein Index M so dass |yn-x|< e für n>M.
Um M zu finden :
| yn-x |= (x0+x1+…+xn)/((n+1) -x)
= (x0-x+x1-x+…+xn-x)/(n+1)
= n+1((x0-x)+(x1-x)+…+(xn-x))
=(n+1)( |x0-x|+|x1-x|+…+|xn-x|)
=(n+1) (e+e+…+e)
=e
Wenn n>N ist, welches wir aus der Konvergenz von n kennen. Also beweist lim n->unendlich yn=x.
Zu 2: angenommen es gibt 2 Grenzwerte X1 und x2. Dann haben wir |x1-x2|=|x1-yn+yn-x2|=|x1-yn|+|yn-x2|
Dann können cuir die Konvergenz xn und yn nutzen.|x1-x2|=e+e=2e
|x1-x2| beliebig klein, indem wir e klein machen. Also x1=x2 und somit ist der Grenzwert eindeutig,

PNG-Bild 9
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:13 Uhr, 26.05.2023

Antworten
Hallo,

die ersten Abstände sind nicht unbedingt klein genug, also nicht unbedingt <ε.
Von daher kannst du diese Kette nicht beweisen.

Ist aber und zugehörig N mit xn-x<δ für alle nN, so folgt mit M:=max{xk-xk<N}: yn-x=k=0nxkn+1-x=k=0nxk-xn+1k=0nxk-xn+1NM+(n-N+1)δn+1=NMn+1-Nδn+1+(n+1)δn+1=Nn+1(M-δ)+δ

N, M und δ sind Konstanten. Da der Körper archimedisch ist, gibt es ein m mit (m+1)δ>N(M-δ)Nm+1(M-δ)<δ.

Für alle nmax(m;N) gilt dann also ym-x<2δ.

Mit δ:=ε2 hat man damit die Konvergenz gezeigt.

Mfg Michael
Hiho12345

Hiho12345 aktiv_icon

13:30 Uhr, 26.05.2023

Antworten
Stimmt der erste teil denn?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

15:26 Uhr, 26.05.2023

Antworten
Unklar, was du 1.ten Teil nennst? der Satzwas zu zeigen ist damit yn ge gen x konvergiert ist richtig .
ledum
Hiho12345

Hiho12345 aktiv_icon

15:46 Uhr, 26.05.2023

Antworten
Danke aber, wie ist die Aufgabe dann richtig gelöst ?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

15:58 Uhr, 26.05.2023

Antworten
Hallo,

eine korrekte Lösung des ersten Teils habe ich vorhin aufgeschrieben.

Der zweite Teil sieht vernünftig aus.

Mfg Michael
Antwort
HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

17:28 Uhr, 04.06.2023

Antworten
Die Aufgabe auf dem Zettel würde ich so beweisen:

Zu zeigen ist: Für jedes ε>0 gibt es ein M, so dass für alle n>M gilt:|yn-x<ε.

Sei nun ein ε>0 vorgegeben. Dann gibt es ein N, so dass für alle i>N gilt:|xi-x<ε/2.

Betrachte nun yn mit n>N.

Dann gilt: yn-x=x0+x1+...xnn+1-x=x0+x1+...xnn+1-(n+1)xn+1=(x0-x)+(x1-x)+...(xn-x)n+1(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1+(xN+1-x)+(xN+2-x)+...(xn-x)n+1
(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1+(xN+1-x)+(xN+2-x)+...(xn-x)n-N
(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1+xN+1-x+xN+2-x+...xn-xn-N
(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1+(n-N)ε/2n-N
=(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1+ε/2

Dann gibt es ein M, so dass für alle n>M gilt: (x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1<ε/2 und damit yn-x=<ε für alle n>M.



Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.