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Hallo ich habe die folgende Aufgabe bekommen. Ich habe folgenden Ansatz bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt. Vielleicht kann mir jemand helfen. Lösung: Wir müssen 2 Dinge beweisen: 1. Folge yn konvergiert gegen 2. Grenzwert ist eindeutig. Zu 1: wir haben, dass xn konvergiert mit dem Grenzwert X. Das bedeutet: für jede positive zahl gibt es einen Index so dass |xn-n| für alle . Im folgenden schreibe ich für Epsilon . Wir müssen zeigen, dass yn gegen konvergiert. Das bedeutet : für jede positive zahl gibt es ein Index so dass |yn-x|< für . Um zu finden : | yn-x (x0+x1+…+xn)/((n+1) = (x0-x+x1-x+…+xn-x)/(n+1) = n+1((x0-x)+(x1-x)+…+(xn-x)) |x0-x|+|x1-x|+…+|xn-x|) (e+e+…+e) Wenn ist, welches wir aus der Konvergenz von kennen. Also beweist n->unendlich yn=x. Zu 2: angenommen es gibt 2 Grenzwerte und . Dann haben wir |x1-x2|=|x1-yn+yn-x2|=|x1-yn|+|yn-x2| Dann können cuir die Konvergenz xn und yn nutzen.|x1-x2|=e+e=2e beliebig klein, indem wir klein machen. Also und somit ist der Grenzwert eindeutig, |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hallo, die ersten Abstände sind nicht unbedingt klein genug, also nicht unbedingt . Von daher kannst du diese Kette nicht beweisen. Ist aber und zugehörig mit für alle , so folgt mit : , und sind Konstanten. Da der Körper archimedisch ist, gibt es ein mit . Für alle gilt dann also . Mit hat man damit die Konvergenz gezeigt. Mfg Michael |
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Stimmt der erste teil denn? |
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Unklar, was du 1.ten Teil nennst? der Satzwas zu zeigen ist damit yn ge gen konvergiert ist richtig . ledum |
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Danke aber, wie ist die Aufgabe dann richtig gelöst ? |
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Hallo, eine korrekte Lösung des ersten Teils habe ich vorhin aufgeschrieben. Der zweite Teil sieht vernünftig aus. Mfg Michael |
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Die Aufgabe auf dem Zettel würde ich so beweisen: Zu zeigen ist: Für jedes >0 gibt es ein M, so dass für alle n>M gilt:|. Sei nun ein >0 vorgegeben. Dann gibt es ein N, so dass für alle i>N gilt:|. Betrachte nun mit n>N. Dann gilt: == Dann gibt es ein M, so dass für alle n>M gilt: und damit für alle n>M. |
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