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Konvergenz

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
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Hiho12345

Hiho12345 aktiv_icon

11:16 Uhr, 26.05.2023

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Hallo ich habe die folgende Aufgabe bekommen. Ich habe folgenden Ansatz bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Lösung:
Wir müssen 2 Dinge beweisen:
1. Folge yn konvergiert gegen X
2. Grenzwert ist eindeutig.

Zu 1: wir haben, dass xn konvergiert mit dem Grenzwert X. Das bedeutet: für jede positive zahl ε gibt es einen Index n so dass |xn-n| <ε für alle n>N. Im folgenden schreibe ich für Epsilon e. Wir müssen zeigen, dass yn gegen X konvergiert. Das bedeutet
: für jede positive zahl e gibt es ein Index M so dass |yn-x|< e für n>M.
Um M zu finden :
| yn-x |= (x0+x1+…+xn)/((n+1) -x)
= (x0-x+x1-x+…+xn-x)/(n+1)
= n+1((x0-x)+(x1-x)+…+(xn-x))
=(n+1)( |x0-x|+|x1-x|+…+|xn-x|)
=(n+1) (e+e+…+e)
=e
Wenn n>N ist, welches wir aus der Konvergenz von n kennen. Also beweist lim n->unendlich yn=x.
Zu 2: angenommen es gibt 2 Grenzwerte X1 und x2. Dann haben wir |x1-x2|=|x1-yn+yn-x2|=|x1-yn|+|yn-x2|
Dann können cuir die Konvergenz xn und yn nutzen.|x1-x2|=e+e=2e
|x1-x2| beliebig klein, indem wir e klein machen. Also x1=x2 und somit ist der Grenzwert eindeutig,

PNG-Bild 9
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:13 Uhr, 26.05.2023

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Hallo,

die ersten Abstände sind nicht unbedingt klein genug, also nicht unbedingt <ε.
Von daher kannst du diese Kette nicht beweisen.

Ist aber und zugehörig N∈ℕ mit ∣xn-x∣<δ für alle n≥N, so folgt mit M:=max{∣xk-x∣∣k<N}: ∣yn-x∣=∣∑k=0nxkn+1-x∣=∣∑k=0nxk-x∣n+1≤∑k=0n∣xk-x∣n+1≤N⋅M+(n-N+1)⋅δn+1=N⋅Mn+1-Nδn+1+(n+1)δn+1=Nn+1(M-δ)+δ

N, M und δ sind Konstanten. Da der Körper archimedisch ist, gibt es ein m mit (m+1)δ>N(M-δ)⇔Nm+1(M-δ)<δ.

Für alle n≥max(m;N) gilt dann also ∣ym-x∣<2δ.

Mit δ:=ε2 hat man damit die Konvergenz gezeigt.

Mfg Michael
Hiho12345

Hiho12345 aktiv_icon

13:30 Uhr, 26.05.2023

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Stimmt der erste teil denn?
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ledum

ledum aktiv_icon

15:26 Uhr, 26.05.2023

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Unklar, was du 1.ten Teil nennst? der Satzwas zu zeigen ist damit yn ge gen x konvergiert ist richtig .
ledum
Hiho12345

Hiho12345 aktiv_icon

15:46 Uhr, 26.05.2023

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Danke aber, wie ist die Aufgabe dann richtig gelöst ?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

15:58 Uhr, 26.05.2023

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Hallo,

eine korrekte Lösung des ersten Teils habe ich vorhin aufgeschrieben.

Der zweite Teil sieht vernünftig aus.

Mfg Michael
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HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

17:28 Uhr, 04.06.2023

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Die Aufgabe auf dem Zettel würde ich so beweisen:

Zu zeigen ist: Für jedes ε>0 gibt es ein M, so dass für alle n>M gilt:|yn-x∣<ε.

Sei nun ein ε>0 vorgegeben. Dann gibt es ein N, so dass für alle i>N gilt:|xi-x∣<ε/2.

Betrachte nun yn mit n>N.

Dann gilt: ∣yn-x∣=∣x0+x1+...xnn+1-x∣=∣x0+x1+...xnn+1-(n+1)xn+1∣=∣(x0-x)+(x1-x)+...(xn-x)n+1∣≤∣(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1∣+∣(xN+1-x)+(xN+2-x)+...(xn-x)n+1∣
≤∣(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1∣+∣(xN+1-x)+(xN+2-x)+...(xn-x)n-N∣
≤∣(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1∣+∣xN+1-x∣+∣xN+2-x∣+...∣xn-x∣n-N
≤∣(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1∣+(n-N)ε/2n-N
=∣(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1∣+ε/2

Dann gibt es ein M, so dass für alle n>M gilt: ∣(x0-x)+(x1-x)+...(xN-x)n+1∣<ε/2 und damit ∣yn-x∣=<ε für alle n>M.
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